“二元一次不等式组与平面区域”教案教案说明及点评 

“二元一次不等式组与平面区域”教案、教案说明及点评

郭新宁 执教（宁夏银川二中） 李善良 点评（江苏省教研室）

教案

【教学目标】

1．初步体会从实际情景中抽象出二元一次不等式组的过程。

2．了解二元一次不等式（组）的相关概念，并能画出二元一次不等式（组）表示的平面区域。

3．培养学生观察、分析数学图形的能力，在问题的解决中渗透集合、化归、数形结合的数学思想。

【重点与难点】

（1）重点：探究、运用二元一次不等式（组）来表示平面区域。

（2）难点：如何确定不等式Ax+By+C>0(或<0)表示直线Ax+By+C=0的那一侧区域。

【教学准备】

教具：直尺、多媒体设备。 【教学过程】

一、创设问题情景，激发学生兴趣

问题1：为了按期完成“鸟巢”工程的建设，根据发改委要求，工程每天至少需要浇铸60根钢柱。已知负责生产的首钢、鞍钢分别只有4个和6个车间有能力浇铸此型钢柱，但其中至多只有8个车间可同时投入生产。首钢和鞍钢每个车间每天分别能完成10根和8根钢柱的浇铸。问两厂每天最多能浇铸多少钢柱？最少需要多少个车间？

上述关系如下表： 生产车间数 日生产量 首钢车间 鞍钢车间 投入生产不超过4 投入生产不超过6 总车间数不超过8个 10 8 日生产量至少60根 解：设首钢有x个车间投入生产，鞍钢有y个车间投入生产，根据题意，列出不等式组：

0≤x≤4 0≤y≤6

x+y≤8 （x,y?N） 10x+8y≥60

列出不等式组之后，对不等式（组）解释，满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有序数对（x，y）,所有这样的有序数对（x，y）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集，有序实数对可以看作是直角坐标系平面内点的坐标，于是二元一次不等式（组）的解集就可以看成直角坐标系内点构成的集合。

二、探究二元一次不等式表示的平面区域

问题2：二元一次不等式x+y＞8在平面直角坐标系下表示什么区域？ 围绕问题2师生展开如下活动。

y活动一：由数到形

xA+yA-8 = 4.84【教师演示】运用多媒体进行动态展示：

平面直角坐标系中，所有的点被直线x＋y－8=0xA = 5.618A成三类：即在直线x＋y－8=0上；直线左下方的

yA = 7.23面区域；直线右上方的平面区域。

1【学生尝试】设点P（x,y1）是直线l上的点，o18x取点A（x,y2）使它的坐标满足x+y＞8，填写下在坐标系中将满足不等式的解所对应的点

??在分平选表： 描

横坐标x －3 －2 －1 0 1 2 3 点P的纵坐标y1 点A的纵坐标y2 绘到坐标系下，通过对其位置进行分析，归纳猜想得出相应结论。 【学生猜想】以x+y－8＞0的解为坐标的点都在直线x+y－8=0的右上方。

【共同归纳】一般地，Ax＋By＋C＞0（＜0）在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C=0某一侧所有点组成的平面区域．提醒注意：我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．画不等式Ax＋By＋C≥0则把边界直线画成实线． 活动二：由形到数

【学生尝试】让学生尝试在直线x＋y－8=0的右上方多取若干点，自动计算x＋y－8的值，发现都是大于零。

【教师演示】教师借助多媒体在直线x+y－8＝0的一侧任意取一点A(x,y)的坐标进行跟踪显示，并将点A(x,y)的坐标代入x＋y－8中，由学生计算，观察所得值的符号，并归纳发现在直线x＋y－8＝0的同一侧的点都满足不等式x＋y－8＞0（或＜0）。从而使二元一次不等式的解与平面区域的对应关系的理论体系更加完备。

【共同证明】如何完成从特殊到一般的证明？分析：在直线x＋y－8=0的右上方任取一点A(xA,yA),为了与直线x＋y－8=0的点发生联系，不妨过A点作与x轴垂直的直线交直线x＋y－1=0于P(xp,yp)点。则有xA= xp ，yA＞yp，所以xA＋yA－8＞xp＋yp－8=0 。所以对于在直线x＋y－8=0的右上方任一点A(x,y)都有 x＋y－8＞0。同理可得，在直线x＋y－8=0的左上方任一点都能使x＋y－8＜0成立。

【师生归纳】由于对直线Ax＋By＋C=0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C的正负即可判断Ax＋By＋C＞0表示直线哪一侧的平面区域。特别地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点。

三、例题，练习

例1．画出不等式 2x+y-6＜0 表示的平面区域。

（将具体的知识形成方法和技能，讨论定域方法和画图的注意事项。）

练习（一）画出以下不等式表示的平面区域

① ② 练习（二）画出以下不等式组表示得平面区域

练习（三）绘制由“鸟巢”问题得出的不等式组表示的区域并解答。 问题解答如图：有六种投入的生产方案，它们分别是（2，5），（2，6），（3，4），（3，5）（4，3），（4，4）计算可得，最多可浇铸72根钢柱，最少要用7个车间。

四、小结

（1）如何作出一元二次不等式（组）表示平面区域？ （2）本节课渗透了什么样的数学思想方法？

小结内容：认识了二元一次不等式（组）与其平面区域的对应关系，体会到了数形结合思想的应用。

五、布置作业：

1.课本P106习题3.3A组1、2，B组1。 2.拓展与提高：B组2。 六、板书设计 3．3．1二元一次不等式（组）与平面区域

1．从实际问题中建立 2．探究二元一次不等式表示的区域 4．练习(一) 不等关系 3．判定所示区域的方法 练习(二) 直线定界，测试点定域 解决实例

【教学反思】

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y??3x?12x?2y教案说明

【教学目标、重难点说明】

本节是高中数学教材新增内容之一，在不等式、直线方程后学习，它既是这两部分内容的延伸和交汇，又是图解法解决线性规划的基础；同时，在探求问题的过程中培养学生数形结合、等价转化的数学思想；旧教材将它安排在直线方程后学习，体现的是它与方程的联系，而新教材将它与不等式的知识合在一起，整章知识凸显的是通过数学的直观性进行学习，将重要的不等关系都给出了相应的几何背景，从而弱化了以逻辑性推导为主的传统学习不等式的方式；基于以上对教材的分析，定教学目标为1．初步体会从实际情景中抽象出二元一次不等式组的过程。2．了解二元一次不等式（组）的相关概念，并能画出二元一次不等式（组）表示的平面区域。3．培养学生观察，分析数学图形的能力，在问题的解决中渗透集合、化归、数形结合的数学思想。故将教学重点定为：探究、运用二元一次不等式（组）来表示平面区域。由于在认知过程中，由形到数

易，由数到形难，故将教学难点定为：如何确定不等式Ax+By+C>0(或<0)表示直线Ax+By+C=0的那一侧区域。

【教学环节设计说明】 一、建立模型

给出实际问题1，学生先按等量关系，列出二元一次方程。方程的知识在必修2中已学习过，这为本节的学习作好了知识上的铺垫，再由“等”过渡到“不等”，建立起二元一次不等式的概念，使学生初步经历、体验从实际问题中得到二元一次不等式（组）这一数学模型的抽象过程，了解其产生的实际背景，体现出数学问题是客观存在的，是从实际问题中产生和发展的。

在对实际问题的分析中，对学生来说，要从题目冗长的文字和繁多的数据中明确未知变量所满足的不等关系还是有一定的难度。处理不当，就会占用很多时间，冲淡本节内容，要解决这个问题，关键是引导学生通过列表的形式把问题中的已知条件和各种数据进行整理。由于这是本节的第一课时，刚刚开始，学生还不会列表，给出一个空表，帮助学生整理条件和数据，以小的问题链引导学生去填，逐步从已有的方程知识过渡到不等式，并在填表的过程中理清题意，学会列表。

二、探究模型的数学意义

以二元一次不等式x+y＞8在平面直角坐标系下表示的区域为例，经历以下两个探究过程。

活动一：由数到形

教师演示 运用多媒体进行进行动态展示：在平面直角坐标系中，所有的点被直线x＋y－8=0分成三类：即在直线x＋y－8=0上；直线左下方的平面区域；直线右上方的平面区域。

学生尝试 设点P（x,y1）是直线l上的点，选取点A（x,y2）使它的坐标满足x+y＞8，填写下表：

在坐标系中将满足不等式的解所对应的点A描绘到坐标系下，通过对其位置进行分

横坐标x －3 －2 －1 0 1 2 3 点P的纵坐标y1 点A的纵坐标y2 析，归纳猜想得出相应结论。 学生猜想 以x+y－8＞0的解为坐标的点都在直线x+y－8=0的右上方。 共同归纳结论。

本环节的教法特点为：围绕本节课的重点，探求二元一次不等式解集所表示的平面区域，由旧知到新知，组织学生自主探索，动手实践，按思维发展的顺序，从观察——实践——猜想——验证——归纳来设计教学过程，有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程，贴近认知规律，贴近学生实际的设计，认识探究过程是自然而不强加与人的。 活动二：由形到数

学生尝试 让学生在直线x＋y－8=0的右上方多取若干点，自动计算x＋y－8的值，发现都是大于零。

教师演示 教师借助多媒体在直线x+y－8＝0的一侧任意取一点A(x,y)的坐标进行跟踪显示，并将点A(x,y)的坐标代入x＋y－8中，由学生计算，观察所得值的符号，并归纳发现在直线x＋y－8＝0的同一侧的点都满足不等式x＋y－8＞0（或＜0）。从而使二元一次不等式的解与平面区域的对应关系的理论体系更加完备。

共同证明 在直线x＋y－8=0的右上方任取一点A(xA,yA),为了与直线x＋y－8=0的点发生联系，不妨过A点作与x轴垂直的直线交直线x＋y－1=0于P(xp,yp)点。则有xA= xp ，yA＞yp，所以xA＋yA－8＞xp＋yp－8=0 所以对于在直线x＋y－8=0的右上方任一点A(x,y)都有 x＋y－8＞0。同理可得，在直线x＋y－8=0的左上方任一点都能使x＋y－8＜0成立。

师生归纳结论

这个环节的教法特点为：以直观图形作为观察对象，使得原本抽象的问题变得具体，符号化的数学式子有了可依托的图形，数量间不等关系被清晰的显现出来，有效的完备了理论，也更符合了学生的认知水平和认知习惯。几何画板的应用使得对直线同一侧内任意点的追踪成为可能，将其坐标代入Ax+By+C后的计算值又反应出了它满足的关系式，数与形的同时展现，相互对应，反应出了知识的本质，有效促进了学生数形结合思想的形成。

三、熟练模型例题和习题设计说明

通过例1将具体的知识形成方法和技能；同时也通过教师的示范作用，引导学生在作图过程中注意相关细节，如：方向，箭头，边界，单位刻度的选取等，帮助学生养成良好的画图习惯。为了巩固课堂内容，提高学生动手作图能力，设计了练习（二）,它由一般的直线，过原点的直线，两条和轴垂直的特殊直线共同组成。使得本题在考察学生思维的完备性和严谨性方面有重要的功能；同时练习㈠又为练习（二）起到一个铺垫的作用，从单个的分割，到整体的组合，起到从二元一次不等式向二元一次不等式（组）自然过渡的目的。

四、模型的实际应用

绘制鸟巢问题中不等式组表示的区域并解答。这样就使的本节知识体系前后呼应，使学生意识到通过本节的学习，我们应用新知解决了一个相关的实际问题，切实体会到数学得有用性和现实性。通过此问题的解答，也使学生具体感受到“数缺形，难直观；

形缺数，难入微” ，认识到我们在解决相关问题时常常是数与形相互结合，从而促进学生数形结合思想的形成。

五、巩固认识模型。

1.课本P106习题3.3A组1、2，B组1。 2.拓展与提高：B组2。

本环节首先考虑检测全体学生是否都达到了“课标”的基本要求，因此安排了作业1，目的是让学生继续熟悉，巩固寻找二元一次不等式表示的平面区域，为后继学习打好基础。同时为了能让不同层次的学生在得到深入发展，又安排了作业2供学有余力的学生选作，也通过作业对本节课的效果起到反馈的作用。

点评

“二元一次不等式（组）与平面区域”在不等式、直线方程后学习，它既是这两部分内容的延伸和交汇，又是图解法解决线性规划的基础；同时，在探求问题的过程中可以培养学生数形结合、等价转化等数学思想方法。

本课从实际情境引入，通过对实际情境分析，引发出所要研究的问题；进而通过师生互动，特别是在教师有计划引导下，学生主动探究，归纳得出结论；之后，通过例题、练习进行运用、理解，最后师生共同反思，对所学习内容进行概括、升华。 这个设计既体现本课数学内容的生成过程，又与学生的认知过程相吻合，充分体现课改的基本理念。

本课教学过程充分关注在教师引导下，学生的主动学习、主动探究、主动反思。在教学过程中，注意设计恰当的提问，引领学生思考。充分进行师生互动，在数学活动中建立数学，解决问题。同时，教师讲解透彻，对数学本质揭示清楚。教师富于启发的语言与学生深入的探究，使课改与传统教学融于一体。教师能把传统教学中的“板书、板演、对答、展示等”行之有效的教学方法与现代信息技术等有机结合，发挥两者的最佳效益，又回避两者的不足。在使用信息技术方面尤其恰到好处，使信息技术成为学生实验、探究、操作的工具，引导学生通过技术，发现数学、建立数学。课堂录象表明，教学效果是比较好的。

在选择问题情境时，关键是问题情景与所研究的问题能否匹配，不一定要追逐时尚。如何恰当处理归纳与演绎，特殊与一般的关系，对于学生认识、理解数学非常关键。课堂教学过程中，问题的设计是十分重要的，但每节课的问题应成为一个整体的问题串，这样，学生的思维才具有整体性、系统性。