极值点偏移的判定方法和运用策略
一、判定方法
1、极值点偏移的定义
对于函数y?f(x)在区间(a,b)内只有一个极值点x0，方程f(x)?0的解分别为x1、x2，且a?x1?x2?b，
x1?x2x?x2则称函数y?f(x)在区间(x1,x2)上极值点x0偏移；（2）若1则函数y?f(x)?x0，?x0，
22x?x2在区间(x1,x2)上极值点x0左偏，简称极值点x0左偏；（3）若1?x0，则函数y?f(x)在区间(x1,x2)上
2（1）若
极值点x0右偏，简称极值点x0右偏。 2、极值点偏移的判定定理 判定定理1对于可导函数y?f(x)，在区间(a,b)上只有一个极大（小）值点x0，方程f(x)?0的解分别为x1?x2x?x)?0，则12?(?)x0，即函数y?f(x)在区间(x1,x2)上极22x?x2x?x大（小）值点x0右（左）偏；（2）0若f'(1)?0，则12?(?)x0，即函数y?f(x)在区间(x1,x2)上
22x1、x2，且a?x1?x2?b，（1）若f'(极大（小）值点x0左（右）偏。 证明：（1）因为可导函数y?f(x)，在区间(a,b)上只有一个极大（小）值点x0，则函数y?f(x)的单调递增（减）区间为(a,x0)，单调递减（增）区间为(x0,b)，又a?x1?x2?b，有故x1?x2x?x?(a,b)由于f'(12)?0，22x1?x2x?x?(a,x0)，所以12?(?)x0，即函数极大（小）值点x0右（左）偏。 22结论（2）证明略。 判定定理2对于可导函数y?f(x)，在区间(a,b)上只有一个极大（小）值点x0，方程f(x)?0的解分别为x1、x2，且a?x1?x2?b，（1）若f(x1)?f(2x0?x2)，则x1?x2?(?)x0即函数y?f(x)在区间(x1,x2)2，x1?x2?(?)x0即函数y?f(x)在区间(x1,x2)2，上极大（小）值点x0右（左）偏；（2）若f(x1)?f(2x0?x2)，则上极大（小）值点x0左（右）偏。
证明：（1）因为对于可导函数y?f(x)，在区间(a,b)上只有一个极大（小）值点x0，则函数y?f(x)的单调递增（减）区间为(a,x0)，单调递减（增）区间为(x0,b)，又a?x1?x2?b，有x1?x0，且2x0?x2?x0，又f(x1)?f(2x0?x2)，故x1?(?)2x0?x2 ，所以
x1?x2?(?)x0，即函数极大（小）值点x0右（左）偏. 2结论（2）证明略。
应用举例
431x,与直线y?a(a??)交于A(x1,a)、B(x2,a)，证明：x1?x2?2。 3343434解法1:（运用定义证明）：设x1?x2，由题意得x14?x1?a,x2?x2?a,两式相减整理得
33例1：函数f(x)?x4?42422(x1?x1x2?x2)(t?t?1)x244t33x1?x2?,t?(t?1)设，故x?x?????2,即x1?x2?2。 122x1x12?x2t2?133t2?1由于仅用a难表示x1?x2，故两式相减，构造用t?3x2表示x1?x2的函数求解。 x12解法2:（运用判定定理1证明）：设x1?x2，f'(x)?4x?4x，函数f(x)?x4?43x的单调递减区间为(??,1)，3422(x1?x1x2?x2)22x1?x2(x12?x2)x1?x23,单调递增区间为(1,??)，又x1?x2?有，则?1，即f'()???022x12?x2223(x12?x2)x1?x2?2。 x1?x2)与0的关系，此解法用的是不等式放缩法。当然，也可构造函数求解。 24解法3:（运用判定定理2证明）：设x1?x2，函数f(x)?x4?x3的单调递减区间为(??,1)， 3判断f'(分析：构造对称函数 分析：（3）构造比较函数。
极值点偏移的判定方法
