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极值点偏移的判定方法

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极值点偏移的判定方法和运用策略

一、判定方法

1、极值点偏移的定义

对于函数y?f(x)在区间(a,b)内只有一个极值点x0,方程f(x)?0的解分别为x1、x2,且a?x1?x2?b,

x1?x2x?x2则称函数y?f(x)在区间(x1,x2)上极值点x0偏移;(2)若1则函数y?f(x)?x0,?x0,

22x?x2在区间(x1,x2)上极值点x0左偏,简称极值点x0左偏;(3)若1?x0,则函数y?f(x)在区间(x1,x2)上

2(1)若

极值点x0右偏,简称极值点x0右偏。 2、极值点偏移的判定定理 判定定理1对于可导函数y?f(x),在区间(a,b)上只有一个极大(小)值点x0,方程f(x)?0的解分别为x1?x2x?x)?0,则12?(?)x0,即函数y?f(x)在区间(x1,x2)上极22x?x2x?x大(小)值点x0右(左)偏;(2)0若f'(1)?0,则12?(?)x0,即函数y?f(x)在区间(x1,x2)上

22x1、x2,且a?x1?x2?b,(1)若f'(极大(小)值点x0左(右)偏。 证明:(1)因为可导函数y?f(x),在区间(a,b)上只有一个极大(小)值点x0,则函数y?f(x)的单调递增(减)区间为(a,x0),单调递减(增)区间为(x0,b),又a?x1?x2?b,有故x1?x2x?x?(a,b)由于f'(12)?0,22x1?x2x?x?(a,x0),所以12?(?)x0,即函数极大(小)值点x0右(左)偏。 22结论(2)证明略。 判定定理2对于可导函数y?f(x),在区间(a,b)上只有一个极大(小)值点x0,方程f(x)?0的解分别为x1、x2,且a?x1?x2?b,(1)若f(x1)?f(2x0?x2),则x1?x2?(?)x0即函数y?f(x)在区间(x1,x2)2,x1?x2?(?)x0即函数y?f(x)在区间(x1,x2)2,上极大(小)值点x0右(左)偏;(2)若f(x1)?f(2x0?x2),则上极大(小)值点x0左(右)偏。

证明:(1)因为对于可导函数y?f(x),在区间(a,b)上只有一个极大(小)值点x0,则函数y?f(x)的单调递增(减)区间为(a,x0),单调递减(增)区间为(x0,b),又a?x1?x2?b,有x1?x0,且2x0?x2?x0,又f(x1)?f(2x0?x2),故x1?(?)2x0?x2 ,所以

x1?x2?(?)x0,即函数极大(小)值点x0右(左)偏. 2结论(2)证明略。

应用举例

431x,与直线y?a(a??)交于A(x1,a)、B(x2,a),证明:x1?x2?2。 3343434解法1:(运用定义证明):设x1?x2,由题意得x14?x1?a,x2?x2?a,两式相减整理得

33例1:函数f(x)?x4?42422(x1?x1x2?x2)(t?t?1)x244t33x1?x2?,t?(t?1)设,故x?x?????2,即x1?x2?2。 122x1x12?x2t2?133t2?1由于仅用a难表示x1?x2,故两式相减,构造用t?3x2表示x1?x2的函数求解。 x12解法2:(运用判定定理1证明):设x1?x2,f'(x)?4x?4x,函数f(x)?x4?43x的单调递减区间为(??,1),3422(x1?x1x2?x2)22x1?x2(x12?x2)x1?x23,单调递增区间为(1,??),又x1?x2?有,则?1,即f'()???022x12?x2223(x12?x2)x1?x2?2。 x1?x2)与0的关系,此解法用的是不等式放缩法。当然,也可构造函数求解。 24解法3:(运用判定定理2证明):设x1?x2,函数f(x)?x4?x3的单调递减区间为(??,1), 3判断f'(分析:构造对称函数 分析:(3)构造比较函数。

极值点偏移的判定方法

极值点偏移的判定方法和运用策略一、判定方法1、极值点偏移的定义对于函数y?f(x)在区间(a,b)内只有一个极值点x0,方程f(x)?0的解分别为x1、x2,且a?x1?x2?b,x1?x2x?x2则称函数y?f(x)在区间(x1,x2)上极值点x0偏移;(2)若1则函数y?f(x)?x0,?x0,2
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