2.2.2 双曲线的几何性质
课时过关·能力提升
1.双曲线的实轴长,虚轴长,焦距成等差数列,则它的离心率为( ) A
解析:因为双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列,所以4b=2a+2c,即a+c=2b,再由a+b=c即可求得离心率e
222
答案:B
2.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的 倍 且一个顶点的坐标为 0,2),则双曲线的标准方程为( )
A
C
解析:由方程 得a=2,b=2.
∵双曲线的焦点在y轴上, ∴双曲线的标准方程为 .
答案:B
3.过点(2,-2)且与 =1有公共渐近线的双曲线方程为( ) A C
解析:由题意可设双曲线方程为 =k(k∈R,且k≠0) 又双曲线过点(2,-2),代入即可求得k,从而求出双曲线方程为 . 答案:A
4.F1,F2是双曲线C的两个焦点,P是双曲线右支上一点,且△F1PF2是等腰直角三角形,则双曲线C的离心率为
A. 解析:△PF1F2为等腰直角三角形,又|PF1|≠|PF2|,
故必有|F1F2|=|PF2|, 即2c 从而得c-2ac-a=0,
2
2
( )
即e-2e-1=0,解之,得e=
2
∵e>1,∴e=
答案:A
5.已知双曲线9y2
-m2x2
=1(m>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为
则m=( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:双曲线9y2
-m2x2
=1(m>0),一个顶点为 0
一条渐近线为3y-mx=0,由题意,知
解得m=4.
答案:D
6.已知双曲线 的离心率为2,焦点与椭圆
的焦点相同 那么双曲线的焦点坐标为 渐近线方程为 . 解析:∵椭圆
的焦点坐标为(4,0),(-4,0),
∴双曲线的焦点坐标也为(4,0),(-4,0), ∴c=4,又 2 c2=a2+b,∴a=2,b2=12, ∴双曲线的方程为
∴双曲线的渐近线方程为y= 即 0.
答案:(4,0),(-4,0) 0 7.双曲线
的渐近线方程为 .
解析:利用公式y= 可求得渐近线方程为y=
答案:y=
8.若双曲线 的离心率为2,则k的值是 . 答案:-31
9.根据以下条件,分别求出双曲线的标准方程. (1)过点P(3 离心率e
(2)F1,F2是双曲线的左,右焦点,P是双曲线上的一点,∠F1PF2= 0° △ 离心率为2.解:(1)若双曲线的焦点在x轴上,设 为所求. 由e
得
由点P(3 在双曲线上,得
. 又a2
+b2
=c2
,
由 ②③,得a2
=1,b
若双曲线的焦点在y轴上,设 为所求.
②③同理有 a+b=c.解之,得b=
2
2
2
2
).
故所求双曲线的标准方程为x
.
(2)设双曲线的标准方程为 因|F1F2|=2c,而e 由双曲线的 ,得||PF1|- |PF2||=2a=c.
由余弦 理,得(2c)=|PF1|+|PF2|-2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2=(|PF1|-2
2
2
|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|·( -cos 0°) ∴4c2=c2+|PF1|·|PF2|.
又 |·|PF2|·sin 0°=1 △
∴|PF1|·|PF2|=48.
由3c=48,∴c=16,得a=4,b=12.
2
2
2
2
∴所求双曲线的标准方程为 .
★10.
如图所示,已知F1,F2为双曲线 a>0,b>0)的焦点,过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P,
且∠PF1F2= 0°.求双曲线的渐近线方程.
分析:由于双曲线 的渐近线方程为y= 故 求出 的值即可,可以通过已知解Rt△F1F2P 求得.
解:方法一:设F2(c,0)(c>0),P(c,y0)代入方程得y0= |PF2|
在Rt△F1F2P中,∠PF1F2= 0°
∴|F1F2| |,即2c
又∵c=a+b,∴b=2a. 故所求双曲线的渐近线方程为y= 方法二:∵在Rt△F1F2P中,∠PF1F2= 0°
2
2
2
2
2
∴|PF1|=2|PF2|.
由双曲线的 知|PF1|-|PF2|=2a,
∴|PF2|=2a.∴|F1F2| |.
2222∴2c= 即c=3a=a+b.
∴2a2=b2.
故所求双曲线的渐近线方程为y=
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2双曲线的几何性质练习(含解析)新人教B版选修1_1
