浮点数存储格式

浮点数的存储格式

基于IEEE 754的浮点数存储格式

IEEE（Institute of Electrical and Electronics Engineers，电气工程师协会）在I985年制定的IEEE 754（IEEE Standard for Binary Floating-Point Arithmetic, ANSI/IEEE Std 754-1985 ）二进制浮点运算规范，是浮点运算部件事实上的工业标准。

1 浮点数

在运算机系统的进程中，曾经提出过量种方式表示实数，可是到为止利用最普遍的是浮点表示法。相对于定点数而言，浮点数利用指数使小数点的位置能够按照需要而上下浮动，从而能够灵活地表达更大范围的实数。

浮点数表示法利用计数法来表达实数。通常，将浮点数表示为 ± …d ×βe，其中… d 称为有效数字（significand），它具有 p 个数字（称p位有效数字精度），β为基数（Base），e为指数（Exponent），±表示实数的正负[1,2]。更精准地，± １d２…dp－1 × βe， 表示以下数

－－（－）

±（d0＋d1β1＋… ＋dp－1βp1）βe，（0≤di＜β＝

对实数的浮点表示仅作如上的规定是不够的，因为同一实数的浮点表示还不是唯一的。例如，×102 ， ×103 ，和 ×104 都能够表示。为了达到表示单一性的目的，有必要对其作进一步的规范。规定有效数字的最高位(即前导有效位)必需非零，即0＜d0＜β。符合该标准的数称为规格化数（Normalized Numbers），不然称为非规格化数(Denormalized Numbers)。

2 IEEE 754浮点数与其浮点格式 实数的IEEE 754表示形式

一个实数V在IEEE 754标准中能够用V＝(－1)s×M×2E 的形式表示[3,4]，说明如下：

(1)符号s(sign)决定实数是正数(s＝0)仍是负数(s＝1)，对数值0的符号位特殊处置。 (2)有效数字M（significand）是二进制小数，M的取值范围在1≤M＜2或0≤M＜1。 (3)指数E（exponent）是2的幂，它的作用是对浮点数加权。

浮点格式

浮点格式是一种数据结构，它规定了组成浮点数的各个字段，这些字段的布局，及其算术解释[2]。IEEE 754浮点数的数据位被划分为3个字段，对以上参数值进行编码：

(1)一个单独的符号位s直接编码符号s。

(2)k位的偏置指数e（e＝ek－1…e1e0）编码指数E，移码表示。

(3)n位的小数f(fraction)（f＝fn－1…f1f0）编码有效数字M，原码表示。

浮点数的分类

按照偏置指数e的值，被编码的浮点数可分成三种类型。 (1)规格化数

当有效数字M在范围1≤M＜2中且指数e的位模式ek－1…e1e0既不尽是0也不尽是1时，浮点格式所表示的数都属于规格化数。这种情形中小数f（0≤f＜1 ) 的二进制表示为0. fn－

有效数字M＝1＋f，即M＝1. fn－1…f1f0 (其中小数点左侧的数值位称为前导有效位)1…f1f0。

。咱们老是能调整指数E，使得有效数字M在范围1≤M＜2中，如此有效数字的前导有效位老是1，因此该位不需显示表示出来，只需通过指数隐式给出。

需要特别指出的是指数E要加上一个偏置值Bias，转换成无符号的偏置指数e，也就是说指数E要以移码的形式在寄存运算机中。且e、E和Bias三者的对应关系为e=E＋Bias，

－

其中Bias=2k1－1。

(2)非规格化数

当指数e的位模式ek－1…e1e0全为零（即e＝0）时，浮点格式所表示的数是非规格化数。这种情形下，E=1－Bais，有效数字M=f=0. fn－1…f1f0 ，有效数字的前导有效位为0。

非规格化数的引入有两个目的。其一是它提供了一种表示数值0的方式，其二是它可用来表示那些超级接近于的数。

(3)特殊数

当指数e的位模式ek－1…e1e0全为1时，小数f的位模式fn－1…f1f0全为0（即f=0）时，该浮点格式所表示的值表示无穷，s=0 时是＋∞，s=1时是－∞。

当指数e的位模式ek－1…e1e0全为1时，小数f的位模式fn－1…f1f0不为0（fn－1、…、f1、f0、至少有一个非零即f≠0）时，该浮点格式所表示的值被称为NaN（Not a Number）。比如当计算 或∞－∞时用作返回值，或用于表示未初始化的数据。

3 IEEE 754浮点存储格式

与浮点格式对应，浮点存储格式规定了浮点格式在存储器中如何寄存。IEEE标准概念了这些浮点存储格式，但具体选择哪一种存储格式由实现工具（程序设计语言）决定。

汇编语言软件有时取决于所利用的存储格式，但更高级的语言通常仅处置浮点数据类型的语言概念。这些浮点数据类型在不同高级语言中有不同的名字，相应的IEEE格式如表1。

表1 IEEE 格式和语言类型

IEEE精度 单精度 双精度 扩展双精度 C，C++ float double long double FORTRAN REAL or REAL*4 DOUBLE PRECISION or REAL*8 REAL*16 [仅适用于SPARC和PowerPC] IEEE 754标准准确地概念了单精度和双精度浮点格式，并为这两种大体魄式的别离概念了扩展格式，表1里扩展双精度格式是IEEE标准概念的扩展双精度类中的一种。

下面详细讨论在Intel x86和SPARC平台上利用的三种IEEE浮点存储格式。

单精度格式

IEEE单精度浮点格式共32位，包括三个组成字段：23位小数f，8位偏置指数e，1位符号s。将这些字段持续寄存在一个32位字里，并对其进行编码。其中0:22位包括23

位的小数f； 23:30位包括8位指数e；第31位包括符号s。如图1所示。

图1 单精度存储格式

一般地，32位字的第0位寄存小数f的最低有效位LSB（the least significant bit），第22位寄存小数f的最高有效位MSB（the most significant bit）；第23位寄存偏置指数的最低有效位LSB，第30位寄存偏置指数的最高有效位MSB；最高位，第31位寄存符号s。

双精度格式

IEEE双精度浮点格式共64位，占2个持续32位字，包括三个组成字段：52位的小数f，11位的偏置指数e，1位的符号位s。将这2个持续的32位字整体作为一个64位的字，进行从头编号。其中0：51位包括52位的小数f；52：62位包括11位的偏置指数e；而最高位，第63位包括符号位s。如图 2所示。

图 2 双精度浮点数的存储格式

f[31:0]寄存小数f的低32位，其中第0位寄存整个小数f的最低有效位LSB，第31位寄存小数f的低32位的最高有效位MSB。

在另外的32位的字里，第0 到19位，即f[51:32]，寄存小数f的最高的20位，其中第0位寄存这20位最高有效数中的最低有效位LSB，第19位寄存整个小数f的最高有效位 MSB。第20到30位，即e[52：62]，寄存11位的偏置指数e，其中第20位寄存偏置指数的最低有效位LSB，第30位寄存最高有效位MSB。最高位，第31位寄存符号位s。

在Intel x86结构机中，数据寄存采用小端法（little endian），故较低地址的32位的字中寄存小数f的f[31：0]位。而在在SPARC结构运算机中，因其数据寄存采用大端法（big endian），故较高地址的32位字中寄存小数f的f[31：0]位。

扩展双精度格式

⑴ 扩展双精度格式（SPARC 结构运算机）

该4倍精度浮点环境符合IEEE关于扩展双精度格式的概念。该浮点环境的4倍精度浮点格式共128位，占4个持续32位字，包括3个组成字段：112位的小数f，15位的偏置指数e，和1位的符号s。将这4个持续的32位字整体作为一个128位的字，进行从头编号。其中0：110位包括小数 f；112：126位包括偏置指数e；第127位包括符号位s。如图3所示。

在SPARC结构运算机中，地址最高的32位字寄存小数的32位最低有效位，即f[31:0]；可是在PowerPC结构运算机中，却是地址最低的32位字寄存这些位。

紧邻的两个32位字（在SPARC机中向下计算，在PowerPC机中向上计算）别离寄存