广东华南师范大学附属中学数学几何模型压轴题单元复习练习(Word
版 含答案)
一、初三数学 旋转易错题压轴题（难） 1．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6．
（1）如图1，若将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，连接AD，则△ABD的面积为 ．
（2）如图2，点P为CA延长线上一个动点，连接BP，以P为直角顶点，BP为直角边作等腰直角△BPQ，连接AQ，求证：AB⊥AQ；
（3）如图3，点E，F为线段BC上两点，且∠CAF＝∠EAF＝∠BAE，点M是线段AF上一个动点，点N是线段AC上一个动点，是否存在点M，N，使CM+NM的值最小，若存在，求出最小值：若不存在，说明理由．
【答案】（1）36；（2）详见解析；（3）存在，最小值为3． 【解析】 【分析】
（1）根据旋转的性质得到△ABD是等腰直角三角形，求得AD＝2BC＝12，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（2）如图2，过Q作QH⊥CA交CA的延长线于H，根据等腰直角三角形的性质，得到PQ＝PB，∠BPQ＝90°，根据全等三角形的性质得到PH＝BC，QH＝CP，求得CP＝AH，得到∠HAQ＝45°，于是得到∠BAQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，即可得到结论；
（3）根据已知条件得到∠CAF＝∠EAF＝∠BAE＝15°，求得∠EAC＝30°，如图3，作点C关于AF的对称点D，过D作DN⊥AC于N交AF于M，则此时，CM+NM的值最小，且最小值＝DN，求得AD＝AC＝6，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】
解：（1）∵将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BD， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∵∠ACB＝90°， ∴BC⊥AD， ∴AD＝2BC＝12， ∴△ABD的面积＝故答案为：36；
11AD?BC＝?12×6＝36， 22
（2）如图，过Q作QH⊥CA交CA的延长线于H，
∴∠H＝∠C＝90°， ∵△BPQ是等腰直角三角形， ∴PQ＝PB，∠BPQ＝90°，
∴∠HPQ+∠BPC＝∠QPH+∠PQH＝90°， ∴∠PQH＝∠BPC， ∴△PQH≌△BPC（AAS）， ∴PH＝BC，QH＝CP， ∵AC＝BC， ∴PH＝AC， ∴CP＝AH， ∴QH＝AH， ∴∠HAQ＝45°， ∵∠BAC＝45°，
∴∠BAQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°， ∴AB⊥AQ；
（3）如图，作点C关于AF的对称点D，过D作DN⊥AC于N交AF于M，
∵∠CAF＝∠EAF＝∠BAE，∠BAC＝45°， ∴∠CAF＝∠EAF＝∠BAE＝15°， ∴∠EAC＝30°，
则此时，CM+NM的值最小，且最小值＝DN， ∵点C和点D关于AF对称， ∴AD＝AC＝6， ∵∠AND＝90°， ∴DN＝
11AD＝?6＝3， 22∴CM+NM最小值为3．
【点睛】
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，正确的作出作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
2．阅读下面材料：
小炎遇到这样一个问题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=45°，连结EF，则EF=BE+DF，试说明理由．
小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中．她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB，AD是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG，再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）．
参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题：
（1）如图3，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°．若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足_ 关系时，仍有EF=BE+DF； （2）如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1， EC=2，求DE的长．
【答案】（1）∠B+∠D=180°（或互补）；（2）∴【解析】
试题分析：(1)如图，△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG，利用全等的知识可知，要使EF=BE+DF，即EF=DG+DF，即要F、D、G三点共线，即∠ADG+∠ADF=180°，即∠B+∠D=180°．
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