简谐运动具有周期性，其运动周期T的大小由振动系统本身的性质决定。理解了这一点，在解决相关问题时就不易出错。
例5、有人利用安装在气球载人舱内的单摆来确定气球的高度。已知该单摆在海平面处的周期是T0。当气球停在某一高度时，测得该单摆周期为T.求该气球此时离海平面的高度h。把地球看作质量均匀分布的半径为R的球体。
分析与解：设单摆的摆长为L，地球的质量为M，则据万有引力定律可得地面的重力加速度和高山上的重力加速度分别为：
g?GMM,g?G hR2(R?h)2据单摆的周期公式可知T0?2?LL ,T?2?ggh由以上各式可求得h?(T?1)R T0例6、一弹簧振子作简谐运动，周期为T ，则下列说法中正确的是：
A、若t时刻和(t+△t)时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则△t一定等于T的整数倍； B、若t时刻和(t+△t)时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则△t一定等于T/2的整数倍； C、若△t=T，则在t时刻和(t+△t)时刻振子运动的加速度 一定相等； D、若△t=T/2 ，则在t时刻和(t+△t)时刻弹簧的长度一定相等。
解：若t时刻和(t+△t)时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，表明两时刻振子只是在同一位置，其速度方向还可能相反，则△t不一定是T的整数倍，故A选项错误。
若t时刻和(t+△t)时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，这时振子可能处于平衡位置两侧的两个对称的位置上，也可能是两次处于同一位置上，这都不能保证△t一定是T/2的整数倍。故选项B错误。
振子每经过一个周期，必然回到原来的位置，其对应的加速度一定相等。故选项C正确。 经过半个周期，弹簧的长度变化大小相等、方向相反，即一个对应弹簧被压缩，另一个对应弹簧被拉伸，这两种情况下弹簧的长度不相等，可见选项D错误。
综上所述，本题正确答案为C。
问题5：必须弄清简谐运动图象是分析简谐运动情况的基本方法 简谐运动图象能够反映简谐运动的运动规律，因此将简谐运动图象跟具体运动过程联系起来是讨论简谐运动的一种好方法。
例7、如图5中两单摆摆长相同，平衡时两摆球刚好接触，现将摆球A在两摆线所在平面内向左拉开一小角度后释放，碰撞后，两摆球分开各自做简谐运动，以mA、mB分别表示摆球A、B的质量，则 A B A、如果mA>mB，下一次碰撞将发生在平衡位置右侧；
图5 B、如果mA C、无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞不可能在平衡位置右侧； D、无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞不可能在平衡位置左侧 。 分析与解：由于碰撞后两摆球分开各自做简谐运动的周期相同，任作出B球的振动图象如图6所示，而A球碰撞后可能向右运动，也可能向左运动，因此A球的x 振动图象就有两种情况，如图6中A1和A2。从图中很容易看出无论两B 摆球的质量之比是多少，下一次碰撞只能发生在平衡位置。即CD选 A1 t 项正确。 0 A2 从例7可以看出， 利用振动图象分析问题非常简便。希望同学 们养成利用图象分析问题的习惯。 图6 问题6：会解机械振动与机械能等的综合问题 例8、如图7所示为一单摆的共振曲线，则该单摆的摆长约为多少？共振时摆球的最大速 2 度大小是多少？（g取10m/s） A/cm 8 4 f/Hz o 图7 分析与解：这是一道共振曲线所给信息和单摆振动规律进行推理和综合分析的题目。 由题意知，当单摆共振时频率f=,即f固?0.5Hz,振幅A=8cm=0.08m. 由T?2?gL得L?4?2fg2?1.0m 根据机械能守恒定律可得： 1A222?mmVm?mgL(1?cos?),且（1?cos?m)?2sin?2 222L 解得Vm?Ag?0.25m/s. L问题7：会根据共振的条件分析求解相关问题 例8、如图8所示。曲轴上挂一个弹簧振子，转动摇把，曲轴可带动弹簧振子上下振动。开始时不转动摇把，让振子自由振动，测得其频率为2Hz.现匀速转动摇把，转速为240r/min。 图8 （1）当振子稳定振动时，它的振动周期是多大？ （2）转速多大时，弹簧振子的振幅最大？ 分析与解：根据图示装置可知，当曲转转动一周时，给弹簧振子施加一次作用力，所以振子做受迫振动，当振子振动稳定时其振动周期等于驱动力的周期（即曲轴的转动周期），即： T=T驱=60/240S=. 要使振子做受迫振动的振幅最大，即发生共振，必须满足 f驱=f固=2Hz 所以转速为2r/s（即120r/min）时，振子振动的振幅最大 问题8：波的波速、波长、频率、周期和介质的关系： 例9、简谐机械波在给定的媒质中传播时，下列说法中正确的是（ ） A．振幅越大，则波传播的速度越快； B．振幅越大，则波传播的速度越慢； C．在一个周期内，振动质点走过的路程等于一个波长； D．振动的频率越高，则波传播一个波长的距离所用的时间越短。 分析与解：波在介质中传播的快慢程度称为波速，波速的大小由介质本身的性质决定，与振幅无关，所以A、B二选项错。由于振动质元做简谐运动，在一个周期内，振动质元走过的路程等于振幅的4倍，所以C选项错误；根据经过一个周期T ，振动在介质中传播的距离等于一个波长?，所以振动的频率越高，则波传播一个波长的距离所用的时间越短，即D选项正确。 例10、关于机械波的概念，下列说法中正确的是（ ） （A）质点振动的方向总是垂直于波的传播方向 （B）简谐波沿长绳传播，绳上相距半个波长的两个质点振动位移的大小相等 （C）任一振动质点每经过一个周期沿波的传播方向移动一个波长 （D）相隔一个周期的两个时刻的波形相同 分析与解： 质点振动的方向可以与波的传播方向垂直（横波），也可以与波的传播方向共线（纵波），故A选项错误． 相距一个波长的两个质点振动位移大小相等、方向相同，相距半个波长的两个质点振动位移大小相等、方向相反， B选项正确．这是由于相距半个波长的两个质点的振动状态相差半个周期，所以它们的位移大小相等、方向相反． 波每经过一个周期就要向前传播一个波长，但介质中的各个质点并不随波向前迁移，只是在各自的平衡位置附近振动，向前传播的是质点的振动状态．所以C选项错误． 在波的传播过程中，介质中各点做周期性的振动，相隔一个周期，各质点的振动又回到上一周期的振动状态．因此，相隔一个周期的两时刻波形相同．故D选项正确． 波动是振动的结果，波动问题中很多知识点与振动有关系，因此要搞清波动与振动的联系与区别，在解决问题时才能抓住关键． 问题9：判定波的传播方向与质点的振动方向 方法一：若知道某一时刻t的波形曲线，将波形曲线沿波的传播方向平移一微小的距离（小于 1，它便是t+?t时刻的波形曲线，知道了各个质点经过?t时间到达的位置，质点的振?）4方法二：通过波的传播方向判断处波源的位置，在质点A靠近波源一侧附近（不超过 动方向就可以判断出来了。 1?）4图象上找另一质点B，若质点B在A的上方，则A向上运动，若B在A的下方，则A向下运动。即沿波的传播方向，后振动的质点总是追随先振动的质点来运动的。 同侧法，上下坡法 例11、一简谐横波在x轴上传播，在某时刻的波形如图9所示。已知此时质点F的运动方向向下，则??? A．此波朝x轴负方向传播 B．质点D此时向下运动 C．质点B将比质点C先回到平衡位置 D．质点E的振幅为零 图9 分析与解：本题主要考查对波的传播方向与波上某质点运动方向间的关系的推理判断，以及对波形图的想像能力。 对于本题，已知质点F向下振动，由上述方法可知，此列波向左传播。质点B此时向上运动，质点D向下运动，质点C比B先回到平衡位置。在此列波上所有振动质点的振幅都是相等的。故只有A、B选项正确。 例12、简谐横波某时刻的波形图如图10所示。由此图可知（ ） A．若质点a向下运动，则波是从左向右传播的 B．若质点b向上运动，则波是从左向右传播的 C．若波从右向左传播，则质点c向下运动 D．若波从右向左传播，则质点d向上运动 图10 分析与解：运用上述逆向复描波形法可立即判定出B、D正确。 问题10：已知波的图象，求某质点的坐标 ? 例13、一列沿x方向传播的横波，其振幅为A，波长为λ，某一时刻波的图象如图11所示。在该时刻，某一质点的坐标为(λ，0)，经过 1周期后，该质点的坐标： 4A． 55?，0 B.?, -A C.λ, A D. ?，A 44 分析与解：如图11所示，波上P质点此刻的坐标为(λ，0)，由于此列波向右传播，据逆向复描波形法可知，此刻质点P向下运动。再过 1周期，它运动到负向最大位移处，其坐标4变为(λ，-A)，显然选项B正确。 图11 问题11：已知波速V和波形，作出再经Δt时间后的波形图 方法一、平移法：先算出经Δt时间波传播的距离Δx=VΔt，再把波形沿波的传播方向平移Δx即可。因为波动图象的重复性，若已知波长λ，则波形平移n个λ时波形不变，当Δx=nλ+x时，可采取去nλ留零x的方法，只需平移x即可。 方法二、特殊点法：在波形上找两特殊点，如过平衡位置的点和与它相邻的峰（谷）点，先确定这两点的振动方向，再看Δt=nT+t,由于经nT波形不变，所以也采取去整nT留零t的方法，分别作出两特殊点经t后的位置，然后按正弦规律 画出新波形。 例14、如图12所示，a图中有一条均匀的绳，1、2、3、4…是绳上一系列等间隔的点。现有一列简谐横波沿此绳传播。某时刻，绳上9、10、11、12四点的位置和运动方向如图b所示(其他点的运动情况未画出)，其中点12的位移为零，向上运动，点9的位移达到最大值。试在图C中画出再经过 3周期时点3、4、5、6的位置和速度方向，其他点不必画(图c的横、纵坐标4与图a、b完全相同)。 图13
11机械振动与机械波20个 题型分类
