高频考点一 等比数列基本量的运算
例1、(1)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于( )
15313317A.2B.4C.4D.2
(2)在等比数列{an}中，若a4－a2＝6，a5－a1＝15，则a3＝________. 答案 (1)B (2)4或－4
aq·aq＝1，??113
解析 (1)显然公比q≠1，由题意得?a1 －q
＝7，??1－qa＝4，a＝9???1?1
解得?或?11(舍去)，
q＝，q＝－??3?2?a1
∴S5＝
－q5
＝
1－q
1－2531＝14.
1－2
3
【感悟提升】等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．
a5【变式探究】(1)在正项等比数列{an}中，an＋1＜an，a2·a8＝6，a4＋a6＝5，则a等于( )
7
5A.6 2C.3
6B.5 3D.2 (2)(2015·湖南)设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an＝________.
答案 (1)D (2)3n1
－
解析 (1)设公比为q，则由题意知0＜q＜1，
?a8＝a4·a6＝6，?a2·由?得a4＝3，a6＝2， ?a＋a＝5，?46
a5a43所以a＝a＝2.
76
(2)由3S1,2S2，S3成等差数列知，4S2＝3S1＋S3，可得a3＝3a2，所以公比q＝3，故等比数列通项an＝a1qn1＝3n1.
－
－
高频考点二 等比数列的判定与证明
例2、设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2. (1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式．
(1)证明 由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2， 有a1＋a2＝S2＝4a1＋2. ∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.
??Sn＋1＝4an＋2， ①又? ?n，②?Sn＝4an－1＋
①－②，得an＋1＝4an－4an－1 (n≥2)， ∴an＋1－2an＝2(an－2an－1) (n≥2)． ∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1 (n≥2)， 故{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列．
【感悟提升】(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．(2)利用递推关系时要注意对n＝1时的情况进行验证．
【变式探究】设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)．
(1)求a2，a3的值；
(2)求证：数列{Sn＋2}是等比数列．
(1)解 ∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，
∴当n＝1时，a1＝2×1＝2； 当n＝2时，a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4， ∴a2＝4；
当n＝3时，a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6， ∴a3＝8.
综上，a2＝4，a3＝8.
高频考点三 等比数列的性质及应用
例3、(1)在等比数列{an}中，各项均为正值，且a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝5，则a4＋a8＝________.
S1031
(2)等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若S＝32，则公比q＝________.
5
1
答案 (1)51 (2)－2 2
解析 (1)由a6a10＋a3a5＝41及a6a10＝a28，a3a5＝a4， 2得a24＋a8＝41.因为a4a8＝5，
2所以(a4＋a8)2＝a24＋2a4a8＋a8＝41＋2×5＝51.
又an>0，所以a4＋a8＝51.
S1031
(2)由S＝32，a1＝－1知公比q≠±1，
5
S10－S51则可得S＝－32. 5
由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5， 11
故q5＝－32，q＝－2. 【感悟提升】(1)在等比数列的基本运算问题中，一般利用通项公式与前n项和公式，建立方程组求解，但如果能灵活运用等比数列的性质“若m＋n＝p＋q，则有aman＝apaq”，可
以减少运算量．(2)等比数列的项经过适当的组合后构成的新数列也具有某种性质，例如等比数列Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等比数列，公比为qk(q≠－1)．
【变式探究】已知等比数列{an}的公比为正数，且a3a9＝2a25，a2＝2，则a1等于( ) 1A.2 C.2
2B.2 D．2
(2)等比数列{an}共有奇数项，所有奇数项和S奇＝255，所有偶数项和S偶＝－126，末项是192，则首项a1等于( )
A．1 C．3
答案 (1)C (2)C
2
解析 (1)由等比数列的性质得a3a9＝a26＝2a5，
B．2 D．4
a6a2∵q＞0，∴a6＝2a5，q＝a＝2，a1＝q＝2，故选C.
5
(2)
设等比数列{an}共有2k＋1(k∈N*)项，则a2k＋1＝192，
11126
则S奇＝a1＋a3＋…＋a2k－1＋a2k＋1＝q(a2＋a4＋…＋a2k)＋a2k＋1＝qS偶＋a2k＋1＝－q＋192＝255，a1－a2k＋1q2a1－－
解得q＝－2，而S奇＝＝21－q1－－
22＝255，解得a1＝3，故选C
专题30 等比数列（押题专练） 2017年高考数学（理）一轮复习精品资料
1．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S1，S2＋a2，S3成等差数列，则数列{an}的公比为( )
A．1 B．2 1
C.2 D．3
解析：因为S1，S2＋a2，S3成等差数列，所以2(S2＋a2)＝S1＋S3,2(a1＋a2＋a2)＝a1＋a1＋a2＋a3，a3＝3a2，q＝3。选D。
答案：D
2．等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝( )
A．12 B．10 C．8 D．2＋log35
55Sn
3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝2，a2＋a4＝4，则a＝( )
n
A．4n1 B．4n－1
－
C．2n1 D．2n－1
－
?解析：∵?5
a＋a＝?4，
2
4
5a1＋a3＝2
?∴?5
aq＋aq＝?4，
1
13
5a1＋a1q2＝2，
1＋q21
由(1)除以(2)可得3＝2，解得q＝， 2q＋q
?1?－4代入(1)得a1＝2，∴an＝2×2n1＝2n，
??
∴Sn＝
1?n???2×1－2????11－2
1??1－＝4
?2n?，
?1?41－2nSn??n∴a＝＝2－1，选D。 4
n
2n答案：D
4．在等比数列{an}中， Sn是它的前n项和，若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为17，则S6＝( )
63
A.4 B．16 61
C．15 D.4
5．已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为q，则q的一个可能的值是( ) 51A.2 B.2 3
C．2 D.2
a
解析：由题意可设三角形的三边分别为q，a，aq，因为三角形的两边之和大于第三边，1＋5a3
所以有q＋a＞aq，即q2－q－1＜0(q＞1)，解得1＜q＜2，所以q的一个可能值是2，故选D。
答案：D
14
6．正项等比数列{an}满足：a3＝a2＋2a1，若存在am，an，使得aman＝16a21，则＋的mn最小值为( )
2513A.6 B.4 73 C.3 D.2
7．在等比数列{an}中，a1＝2，a4＝16，则数列{an}的通项公式an＝__________，设bn＝log2an，则数列{bn}的前n项和Sn＝__________。
nn＋a4－
解析：由题意得公比q3＝a＝8，q＝2，an＝2·2n1＝2n。因此bn＝n，Sn＝21答案：2n
nn＋
2
。
8．设等比数列{an}的前n项和为Sn，且a5＝S5，则S2 014＝__________。
解析：根据数列前n项和的定义知S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝a5，故a1＋a2＋a3＋a4＝0，即a1(1＋q＋q2＋q3)＝a1(1＋q)(1＋q2)＝0，从而1＋q＝0，q＝－1，所以这个等比数列的相邻两项的和都是0，所以S2 014＝0。
答案：0
9．在各项为正的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为22，则2a7＋a11的最小值是__________。
2a9解析：由题意知a4·a14＝(22)2＝a2即a9＝22。设公比为q(q＞0)，所以2a7＋a11＝q29，42
＋a9q2＝q2＋22q2≥2最小值为8。
答案：8
10．在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81。 (1)求an；
(2)设bn＝log3an，求数列{bn}的前n项和Sn。
??a1q＝3
解析：(1)设{an}的公比为q，依题意得?4
?a1q＝81，???a1＝1－
解得?因此，an＝3n1。
?q＝3。?
4242422
2×22q＝8，当且仅当2＝22q，即q＝2时取等号，其qq
(2)因为bn＝log3an＝n－1，
nb1＋bnn2－n
所以数列{bn}的前n项和Sn＝＝2。 2
3911．在等比数列{an}中，其前n项和为Sn，已知a3＝2，S3＝2。 (1)求数列{an}的通项公式；
3
(2)是否存在正整数n，使得Sn－Sn＋2＝32成立，若存在，求出n的值，若不存在，请说明理由。
解析：(1)设等比数列的公比为q， 39
依题意，有a1q2＝2，a1＋a1q＋a1q2＝2， 31
解得a1＝2，q＝1或a1＝6，q＝－2，
3?1?－
故数列{an}的通项公式为an＝2或an＝6·－2n1；
??
1
12．在数列{an}中，a1＝－2，2an＝an－1－n－1(n≥2，n∈N*)，设bn＝an＋n。 (1)证明：数列{bn}是等比数列； (2)求数列{nbn}的前n项和Tn；
cn＋cn＋1?1?(3)若cn＝2n－an，Pn为数列{2}的前n项和，求不超过P2 014的最大的整数。
??cn＋cn解析：(1)证明：由2an＝an－1－n－1两边加2n得， 2(an＋n)＝an－1＋n－1， an＋n
所以
an－1＋n－
1bn1＝2，即＝。
bn－12
2
111?1?故数列{bn}是公比为2的等比数列，其首项为b1＝a1＋1＝－2＋1＝2，所以bn＝2n。
??
?1?n
(2)nbn＝n·2n＝2n。
??
n－1n1234
Tn＝2＋22＋23＋24＋…＋n－1＋2n。①
2n－111234n
T＝＋＋＋＋…＋＋2345n＋。② n2n2222221111111n1n①－②得2Tn＝2＋22＋23＋24＋…＋2n－n＋1＝1－2n－n＋1，
22n＋2
所以Tn＝2－2n。
等比数列知识点总结（学案）附答案
