第三章课后习题及解答
解：设存在
ki,k2,k3,k4使得 ki 1 k2 2 k3 3 k4 4，整理得
将1, 2题中的向量 表示成 1, 2, 3, 4的线性组合：
1.
1,2,1,1 T, 1 1,1,1,1T,
2
1,1, 1, 1T,
3
1, 1,1, 1T,
4
T
2.
0,0,0,1 , 1 1,1,0,1 , 2 2,1,3,1 , 3 1,1,0,0, 4 0,1, 1, 1.
k1 k2 k3 k4 1
k1 k2 k3 k4 2
k1 k2 k3 k4 1
k1 k2 k3 k4
1 5 1
1
1 解得 k1
—, k2 一*3
—, —4
4 4
k4
4
. 所以
— 丄 1 1
4 1 4 2 4 3 4 4
设存在k1,k2,k3,k4使得
k1 1 k2 2 k3 3
k4 4，整理得
k1 2k2 k3 0 , k1 k2 k3 k4
3k2 k4 0, k1 k2 k4 1.
解得 k1
1, k2 0,k3 1, k4 0.所以
1, 1, 1,1
判断3, 4题中的向量组的线性相关性:
3.
1,1,1T,
2
0,2,5 T, 3 1,3,6 T.
4.
1
(1, 1,2,4)T, 2 0,3,1,2T ,
3
3,0,7,14
解：
4.设存在k「k2,k3使得k1 1
k2 2 k3 3
0,即
2k[ k2 7k3
o可解得1,2,3不全为零，故
k
k
k
1
, 2, 3线性相关
3.设存在k1,k2,k3使得k
1 2
k
2 3 3
k0 ，即
k1 k3 0 k1 2k2 3k3 k1 5k2 6k3
1 o 1
0，由 1 2 3 0
1 5 6
0
，解得k1, k2, k3不全为零,
故1, 2, 3线性相关.
4k1 2k2 14k3
5.论述单个向量
(a1,a2, , an)线性相关和线性无关的条件
解：设存在k使得k 0，若 0，要使k 0，当且仅当k 0，故，单个向量线性 无关的充要条件是
0 ；相反，单个向量
0.
(a1,a2, ,an)线性相关的充要条件是
6.证明：如果向量组线性无关，则向量组的任一部分组都线性无关
证：设向量组 1, 2, , n 1, n线性无关，利用反证法，
假设存在该向量组的某一部分组
ir(r
in)线性相关,
则向量组1, 2, , n1, n线性相关，与向量组 1, 2, , n1, n线性无关矛盾,
所以该命题成立
7.证明：若1, 2线性无关，则1
21
,
2也线性无关
证：方法一，设存在 ki,k2使得ki( 1
2
) k2( 1
整理得，(k1 k2) 1 (k1 k2) 2 0，
k1因为1, 2线性无关，所以
k2 0
1
2
，可解得k1
0，
故1
2,
1
2线性无关.
方法二，因为(1
2,
1
2
)
(1
, 2)1
1
1
1 又因为
,且1线性无关，所以向量组
1
1
2 0, 2故1
2,
1
2线性无关?
8.设有两个向量组
s 和 1
,
2
,
s
,其中
a12
a21 a22
a,31
2 a32 ,
, s
1
ak1 aks aks
2
) 0，
2
1
2,
1
a1s a2s
a3s
2的秩为2,
k
居余马线性代数课后习题
