。 第一章 章末检测卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．有7名女同学和9名男同学，组成班级乒乓球混合双打代表队，共可组成( ) A．7队 B．8队 C．15队 D．63队 解析：由分步乘法计数原理，知共可组成7×9＝63队． 答案：D 2．书架上有不同的语文书10本，不同的英语书7本，不同的数学书5本，现从中任选一本阅读，不同的选法有( ) A．22种 B．350种 C．32种 D．20种 解析：由分类加法计数原理得，不同的选法有10＋7＋5＝22种． 答案：A 3．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( ) 3A．3×3! B．3×(3！) 4C．(3！) D．9! 4解析：把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)种． 答案：C 4．用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A．243 B．252 C．261 D．279 解析：能够组成三位数的个数是9×10×10＝900，能够组成无重复数字的三位数的个数是9×9×8＝648，故能够组成有重复数字的三位数的个数是900－648＝252. 答案：B ?2x－1?95.??的展开式中，常数项为( ) ?x?A．420 B．512 C．626 D．672 39-r?－1?rr9－rr解析：Tr＋1＝C9(2x)??＝(－1)2C9x2， x??r9－r363∴9－r＝0，∴r＝6.∴T7＝C9×2＝672. 2答案：D 6. 如图，用6种不同的颜色把图中A、B、C、D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有( ) A．400种 B．460种 C．480种 D．496种 解析：从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D、A同色1种，D、A不同色3种，∴不同涂法有6×5×4×(1＋3)＝480种，故选C. 答案：C 7．用0,1,2,3,4,5六个数字组成无重复数字的四位数，比3 542大的四位数的个数是( ) A．360 B．240
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C．120 D．60 解析：因为3 542是能排出的四位数中千位为3的最大的数， 所以比3 542大的四位数的千位只能是4或5， 所以共有2×5×4×3＝120个比3 542大的四位数． 故选C. 答案：C xx－18．已知3A8＝4A9，则x等于( ) A．6 B．13 C．6或13 D．12 3×8！4×9！2解析：由排列数公式可将原方程化为＝，化简可得x－19x＋78－x！－x！*＝0，解得x＝6或x＝13.又因为x≤8且x－1≤9，则x≤8且x∈N，故x＝6. 答案：A 9．从6名女生、4名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为( ) 3223A．C6·C4 B．C6·C4 532C．C10 D．A6·A4 32解析：由已知女生抽取3人，男生抽取2人，则抽取方法有C6·C4种． 答案：A 8810．设(1＋x)＝a0＋a1x＋…＋a8x，则a0，a1，…，a8中奇数的个数为( ) A．2 B．3 C．4 D．5 01解析：∵a0＝a8＝C8＝1，a1＝a7＝C8＝8， 234∴a2＝a6＝C8＝28，a3＝a5＝C8＝56，a4＝C8＝70， ∴奇数个数为2，故选A. 答案：A 11．世界杯参赛球队共32支，现分成8个小组进行单循环赛，决出16强(各组的前2名小组出线)，这16个队按照确定的程序进行淘汰赛，决出8强，再决出4强，直到决出冠、亚军和第三名、第四名，则比赛进行的总场数为( ) A．64 B．72 C．60 D．56 2解析：先进行单循环赛，有8C4＝48场，再进行第一轮淘汰赛，16个队打8场，再决出4强，打4场，再分别举行2场决出胜负，两胜者打1场决出冠、亚军，两负者打1场决出三、四名，共举行：48＋8＋4＋2＋1＋1＝64场． 答案：A 12．3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是( ) A．360 B．288 C．216 D．96 2232解析：先保证3名女生中有且只有两位女生相邻，则有A2·C3·A3·A4种排法，再从中223222排除甲站两端的排法，∴所求种数为A2·C3·(A3·A4－2A2·A3)＝288. 答案：B 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13. 绍兴臭豆腐闻名全国，一外地学者来绍兴旅游，买了两串臭豆腐，每串3颗(如图)．规定：每串臭豆腐只能自左向右一颗一颗地吃，且两串可以自由交替吃．请问：该学者将这两串臭豆腐吃完，有________种不同的吃法．(用数字作答) 解析：如图所示，先吃A的情况，共有10种，如果先吃D情况相同，共有20种．
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答案：20 14．用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，则其中数字2,3相邻的偶数有________个．(用数字作答) 解析：数字2和3相邻的偶数有两种情况．第一种情况，当数字2在个位上时，则3必定在十位上，此时这样的五位数共有6个；第二种情况，当数字4在个位上时，且2,323必须相邻，此时满足要求的五位数有A2A3＝12(个)，则一共有6＋12＝18(个)． 答案：18 ?31???n展开式中的第7项与倒数第7项的比是2＋15.?3?3??________． ，则展开式中的第7项为?1?6解析：第7项：T7＝Cn(2)?3?， ?3????1?n－636?n－6倒数第7项：Tn－5＝Cn(2)3?， ?3????1?36n－6??6Cn2?33???1由＝，得n＝9， 1?6?3n－66n－6Cn2?3??3????1?156639－6??6＝C3故T7＝C9(2). 9·2·＝?33?93??63n－656答案： 316．从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________(用数字作答)． 解析：按每科选派人数分3、1、1和2、2、1两类． 311131113当选派人数为3、1、1时，有3类，共有C3C4C5＋C3C4C5＋C3C4C5＝200种． 221212122当选派人数为2、2、1时，有3类，共有C3C4C5＋C3C4C5＋C3C4C5＝390种． 故共有590种． 答案：590 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分) 3
如图有4个编号为1,2,3,4的小三角形，要在每一个小三角形中涂上红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的一种，并且相邻的小三角形颜色不同，共有多少种不同的涂色方法？
解析：分为两类：
第一类：若1,3同色，则1有5种涂法，2有4种涂法，3有1种涂法(与1相同)，4有4种涂法．故N1＝5×4×1×4＝80.
第二类：若1,3不同色，则1有5种涂法，2有4种涂法，3有3种涂法，4有3种涂法．
故N2＝5×4×3×3＝180.
综上可知不同的涂法共有N＝N1＋N2＝80＋180＝260(种)．
18．(12分)某校高三年级有6个班级，现要从中选出10人组成高三女子篮球队参加高中篮球比赛，且规定每班至少要选1人参加．这10个名额有多少不同的分配方法？
解析：除每班1个名额以外，其余4个名额也需要分配．这4个名额的分配方案可以分
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为以下几类：(1)4个名额全部给某一个班级，有C6种分法；(2)4个名额分给两个班级，每
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班2个，有C6种分法；(3)4个名额分给两个班级，其中一个班级1个，一个班级3个．由于分给一班1个，二班3个和一班3个、二班1个是不同的分法，因此是排列问题，共有212
A6种分法；(4)分给三个班级，其中一个班级2个，其余两个班级每班1个，共有C6·C5种分
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法；(5)分给四个班，每班1个，共有C6种分法．
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故共有N＝C6＋C6＋A6＋C6·C5＋C6＝126(种)分配方法．
n19．(12分)(1＋2x)的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．
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解析：T6＝Cn(2x)，T7＝Cn(2x)，依题意有Cn2＝Cn2， 解得n＝8.
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∴(1＋2x)的展开式中，二项式系数最大的项为T5＝C8·(2x)＝1 120x. 设第r＋1项系数最大，则有 rrr－1r－1?C8·2≥C8·2??r?5≤r≤6. rr＋1r＋1?C·2≥C·28?8
∵r∈{0,1,2，…，8}， ∴r＝5或r＝6.
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∴系数最大的项为T6＝1 792x，T7＝1 792x. 20．(12分)三个女生和五个男生排成一排．
(1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？ (2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？ (3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？ (4)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？ (5)甲必须在乙的右边，可有多少种不同的排法？
解析：(1)因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个
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男生合在一起共有六个元素，排成一排有A6种不同排法．对于其中的每一种排法，三个女生
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之间又都有A3种不同的排法，因此共有A6A3＝4 320种不同的排法．
(2)要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空位，这样共有四个空位，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻．由
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于五个男生排成一排有A5种不同的排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三
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个来让三个女生插入都有A6种方法，因此共有A5A6＝14 400种不同的排法．
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(3)方法一：因为两端不能排女生，所以两端只能挑选五个男生中的两个，有A5种排法，
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对于其中的任意一种排法，其余六位都有A6种排法，所以共有A5A6＝14 400种不同的排法． 8方法二：三个女生和五个男生排成一排共有A8种不同的排法，从中去掉女生排在首位的1717A3A7种排法和女生排在末位的A3A7种排法，但这样两端都是女生的排法在去掉女生排在首位的情况时被去掉一次，在去掉女生在末位的情况时又被去掉一次，所以还需加上一次，由于2681726两端都是女生有A3A6种不同的排法，所以共有A8－2A3A7＋A3A6＝14 400种不同的排法． (4)方法一：因为只要求两端不能都排女生，所以如果首位排了男生，则末位就不再受171条件限制了，这样可有A5A7种不同的排法；如果首位排女生，有A3种排法，这样末位就只能11617116排男生，这样可有A3A5A6种不同排法，因此共有A5A7＋A3A5A6＝36 000种不同的排法． 826方法二：三个女生和五个男生排成一排有A8种排法，从中扣去两端都是女生的排法A3A6826种，就能得到两端不都是女生的排法种数．因此共有A8－A3A6＝36 000种不同的排法． 1(5)甲必须在乙的右边即为所有排列的2， A28A8因此共有2＝20 160种不同的排法． A221．(12分)杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家．杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律．如图是一个11阶杨辉三角： 626 (1)求第20行中从左到右的第4个数； 2(2)若第n行中从左到右第14与第15个数的比为，求n的值； 3(3)求n阶(包括0阶)杨辉三角的所有数的和． 3解析：(1)C20＝1 140. 13Cn2142(2)14＝?＝，解得n＝34. Cn3n－1332nn＋1(3)1＋2＋2＋…＋2＝2－1. 1?4?3m122．(12分)设数列{an}是等比数列，a1＝C2m＋3·Am－2，公比q是?x＋2?的展开式中的?4x?第二项． (1)用n，x表示通项an与前n项和Sn. 12n(2)若An＝CnS1＋CnS2＋…＋CnSn，用n，x表示An. 3m1解析：(1)因为a1＝C2m＋3·Am－2， ??2m＋3≥3m，所以???m－2≥1， ??m≤3，即???m≥3. 所以m＝3.所以a1＝1. n，x＝1，??11??414－1n－1又由?x＋2?知T2＝C4·x·2＝x，所以an＝x，Sn＝?1－xn4x?4x?，x≠1.??1－x(2)当x＝1时，Sn＝n， 123nAn＝Cn＋2Cn＋3Cn＋…＋nCn.① nn－1n－210又因为An＝nCn＋(n－1)Cn＋(n－2)Cn＋…＋Cn＋0·Cn，②
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2024版高中数学第一章计数原理章末检测卷新人教A版选修2_3
