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第20讲 三角函数的图象与性质
[解密考纲]本考点考查三角函数的图象以及图象的平移、伸缩变换，三角函数的单调性、奇偶性、周期性、最值与值域等．一般以选择题、填空题的形式呈现，以解答题出现时，排在解答题靠前位置，难度中等．
一、选择题 1．函数y＝cos x－
3
的定义域为( C ) 2
ππ?ππ?A．?－，?B．{x|kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z 66?66?ππ
C．{x|2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈ZD．R
66解析 ∵cos x－
33
≥0，得cos x≥， 22
ππ
∴2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.
66
2．(2024·浙江温州模拟)为了得到函数y＝sin 3x＋cos 3x的图象，可以将函数y＝2cos 3x的图象( A )
π
A．向右平移个单位
12π
C．向左平移 个单位
12
π
B．向右平移个单位
4π
D．向左平移个单位
4
π?π?解析 因为y＝sin 3x＋cos 3x＝2cos?3x－?，所以将y＝2cos 3x的图象向右平移个单位后4?12?π??可得到y＝2cos?3x－?的图象.
4??
π?π?3．(2024·辽宁营口模拟)将函数y＝3sin?2x＋?的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函
3?2?数( B )
A．在区间?
?π，7π?上单调递减B．在区间?π，7π?上单调递增
??1212??1212???
?ππ??ππ?C．在区间?－，?上单调递减D．在区间?－，?上单调递增 ?63??63?
2π?π2π??π?π??解析 由题可得平移后的函数为y＝3sin?2?x－?＋?＝3sin?2x－?，令2kπ－≤2x－
2?3?3?23???π7π?ππ7π?≤2kπ＋，解得kπ＋≤x≤kπ＋，故该函数在?kπ＋，kπ＋?(k∈Z)上单调递增，当k＝0
1212?21212?时，选项B满足条件，故选B．
π???ππ?4．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)?A>0，ω>0，|φ|
2???63?
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且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝( D )
A．1 C．2
2
1B． 2D．
3 2
解析 观察图象可知，A＝1，T＝π，∴ω＝2，f(x)＝sin(2x＋φ).
?π??π?将?－，0?代入上式得sin?－＋φ?＝0. ?6??3?
π?ππ?由|φ|<，得φ＝，则f(x)＝sin?2x＋?.
3?23?ππ
－＋
63π
函数图象的对称轴为x＝＝.
212
x1＋x2π?ππ?又x1，x2∈?－，?，且f(x1)＝f(x2)，∴＝，
212?63?π3?ππ?∴x1＋x2＝，∴f(x1＋x2)＝sin?2×＋?＝，故选D．
63?26?
π
5．(2024·河南郑州模拟)如果函数y＝3sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则|φ|的最小值为
6( A )
π
A．
6π
C．
3
πB．
4πD．
2
?π?解析 由题意，得sin?2×＋φ?＝±1．
6??
ππππ
所以＋φ＝＋kπ，即φ＝＋kπ(k∈Z)，故|φ|min＝. 3266
6．(2017·天津卷)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<π，若f?＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则( A )
2π211πA．ω＝，φ＝B．ω＝，φ＝－
312312111π17π
C．ω＝，φ＝－D．ω＝，φ＝
324324
?5π?＝2，f?11π???8??8???
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解析 由f?由f?
?5π?＝2，得5πω＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)，①
?82?8?
?11π?＝0，得11πω＋φ＝k′π(k′∈Z)，② ?8?8?
242π2
由①②得ω＝－＋(k′－2k)，又最小正周期T＝>2π，所以0<ω<1，所以ω＝，又|φ|<π，
33ω32π
将ω＝代入①得φ＝，A项符合.
312
二、填空题
π?2??π?7．(2024·天津模拟)函数f(x)＝－sin?2x－?，x∈?0，?的最大值是. 4?2?2??
π?ππ?π?所以－π≤2x－π≤3π.根据正弦曲线，?解析 因为x∈?0，?，得当2x－＝－时，sin?2x－?2?4?44444??取得最小值为－
2
. 2
π?2?故f(x)＝－sin?2x－?的最大值为. 4?2?
8．函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos (x＋φ)的最大值为 1 . 解析 f(x)＝sin［(x＋φ)＋φ］－2sin φcos(x＋φ)
＝sin(x＋φ)cos φ－cos(x＋φ)sin φ＝sin(x＋φ－φ)＝sin x， 因为x∈R，所以f(x)的最大值为1．
12
9．把函数f(x)＝3sin xcos x＋cos x－图象上各点向右平移φ(φ>0)个单位，得到函数g(x)
2＝sin 2x的图象，则φ的最小值为！！！
π ###. 12π?131?2
解析 把函数f(x)＝3sin xcos x＋cosx－＝sin 2x＋cos 2x＝sin?2x＋?图象上各点向右
6?222?π?π???平移φ(φ>0)个单位，得到函数g(x)＝sin?2（x－φ）＋?＝sin?2x－2φ＋?＝sin 2x的图象，则φ
6?6???π
的最小值为. 12
三、解答题
π??10．已知函数f(x)＝2sin?2ωx＋?(ω>0)的最小正周期为π. 4??(1)求ω的值；
?π?(2)讨论f(x)在区间?0，?上的单调性.
2??
π?2π?解析 (1)因为f(x)＝2sin?2ωx＋?的最小正周期为π，且ω>0.从而有＝π，故ω＝1．
4?2ω?
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π??(2)因为f(x)＝2sin?2x＋?. 4??πππ5π
若0≤x≤，则≤2x＋≤.
2444当当
ππππ
≤2x＋≤，即0≤x≤时，f(x)单调递增； 4428ππ5πππ
<2x＋≤，即 ?π?综上可知，f(x)在区间?0，?上单调递增， 8?? 在区间? ?π，π?上单调递减. ??82? π 11．设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝. 8(1)求φ； (2)求函数y＝f(x)的单调递增区间. πππ 解析 (1)令2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，所以φ＝kπ＋， 8243π 又－π<φ<0，所以k＝－1，则φ＝－. 43π??(2)由(1)得，f(x)＝sin?2x－?， 4??π3ππ 令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z. 242π5π 可解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 88 5π?π?因此y＝f(x)的单调递增区间为?＋kπ，＋kπ?，k∈Z. 8?8? 12．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(0<ω<1,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M?称. (1)求ω，φ的值； (2)求f(x)的单调递增区间； ?3π，0?对 ? ?4? ?3ππ?(3)若x∈?－，?，求f(x)的最大值与最小值， 2??4 π 解析 (1)因为f(x)＝sin(ωx＋φ)是R上的偶函数，所以φ＝＋kπ，k∈Z，且0≤φ≤π，则 2π φ＝，即f(x)＝cos ωx. 2 ?3?因为图象关于点M?π，0?对称， ?4? 最新精选中小学试题、试卷、教案、教育资料 3π24m 所以ω×π＝＋mπ，m∈Z，ω＝＋， 42332 又0<ω<1，所以ω＝. 3 223π (2)由(1)得f(x)＝cos x，由－π＋2kπ≤x≤2kπ，且 k∈Z得，3kπ－≤x≤3kπ，k∈Z， 3323π??所以函数的递增区间是?3kπ－，3kπ?，k∈Z. 2??2?ππ??3ππ?(3)因为x∈?－，?，所以x∈?－，?， 2?3?23??42 当x＝0时，即x＝0，函数f(x)的最大值为1， 32π3π 当x＝－时，即x＝－，函数f(x)的最小值为0. 324
2024版高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形课时达标20三角函数的图象与性质
