则zmax＝3×2＋4×3＝18(万元)．
?x－2y＋5≥0，?
?
10. 设m为实数，若{(x，y)|?3－x≥0，
??mx＋y≥0?22
y)|x＋y≤25}，则m的取值范围是________． ??{(x，
??
4
答案：[0，]
3
解析：由题意知，可行域应在圆内，如图，如果－m>0，则可行域取到x＜－5的点，不在圆内，
4
故－m≤0，即m≥0.当mx＋y＝0绕坐标原点旋转时，直线过B点时为边界位置．此时－m＝－，∴ m
3
44＝，∴ 0≤m≤. 33
二、 解答题
11. 某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？
解：设A型、B型车辆分别为x，y辆，相应营运成本为z元，则z＝1 600x＋2 400y.由题意，得
x＋y≤21，
??y≤x＋7，
x，y满足约束条件?36x＋60y≥900，
x≥0，x∈N，??y≥0，y∈N.
作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5，12)，Q(7，14)，R(15，6)．
由图可知，当直线z＝1 600x＋2 400y经过可行域的点P时，直线z＝1 600x＋2 400y在y轴上
z
的截距最小，即z取得最小值，
2 400
故应配备A型车5辆、B型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小．
12. 某工厂生产甲、乙两种产品，计划每天每种产品的生产量不少于15吨，已知生产甲产品1吨，需煤9吨，电力4千瓦时，劳力3个；生产乙产品1吨，需煤4吨，电力5千瓦时，劳力10个；甲产品每吨的利润为7万元，乙产品每吨的利润为12万元；但每天用煤不超过300吨，电力不超过200千瓦时，劳力只有300个．问每天生产甲、乙两种产品各多少吨，才能使利润总额达到最大？
解：设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨、y吨，利润总额为z万元，
9x＋4y≤300，
??4x＋5y≤200，
则线性约束条件为?3x＋10y≤300，目标函数为z＝7x＋12y，作出可行域如图，
x≥15，??y≥15，
作出一组平行直线7x＋12y＝t，当直线经过直线4x＋5y＝200和直线3x＋10y＝300的交点A(20，24)时，利润最大，即生产甲、乙两种产品分别为20吨、24吨时，利润总额最大，zmax＝7×20＋12×24＝428(万元)．
答：每天生产甲产品20吨、乙产品24吨，才能使利润总额达到最大．
?x－4y＋3≤0，
?
13. 变量x，y满足?3x＋5y－25≤0，
??x≥1.
y
(1) 设z＝，求z的最小值；
x22
(2) 设z＝x＋y，求z的取值范围；
22
(3) 设z＝x＋y＋6x－4y＋13，求z的取值范围．
x－4y＋3≤0，??
解：由约束条件?3x＋5y－25≤0，作出(x，y)的可行域如图阴影部分所示．
??x≥1，
??x＝1，
由? ?3x＋5y－25＝0，?
?22?解得A?1，?.
5??
??x＝1，由?解得C(1，1)． ?x－4y＋3＝0，???x－4y＋3＝0，由?解得B(5，2)． ?3x＋5y－25＝0，?
yy－0
(1) ∵ z＝＝，
xx－0
2
∴ z的值是可行域中的点与原点O连线的斜率．观察图形可知zmin＝kOB＝.
5
22
(2) z＝x＋y的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点
到原点的距离中，
dmin＝|OC|＝2，dmax＝|OB|＝29， 故z的取值范围是[2，29]．
2222
(3) z＝x＋y＋6x－4y＋13＝(x＋3)＋(y－2)的几何意义是可行域上的点到点(－3，2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3，2)的距离中，
dmin＝1－(－3)＝4，
22
dmax＝（－3－5）＋（2－2）＝8，
故z的取值范围是[16，64]．第3课时 基本不等式
一、 填空题
51
1. 已知x>，则函数y＝4x＋的最小值为________．
44x－5
答案：7
1113
解析：y＝4x＋＝(4x－5)＋＋5≥2＋5＝7.当且仅当4x－5＝，即x＝时取等号．
4x－54x－54x－52
（x＋5）（x＋2）
2. 设x＞－1，则函数y＝的最小值为________．
x＋1
答案：9
2
（z＋4）（z＋1）z＋5z＋4
解析：因为x>－1，所以x＋1>0.设x＋1＝z＞0，则x＝z－1，所以y＝＝
zz4
＝z＋＋5≥2
z9.
4
z·＋5＝9，当且仅当z＝2，即x＝1时取等号，所以当x＝1时，函数y有最小值z
12
3. 若实数a，b满足＋＝ab，则ab的最小值为________．
ab答案：22
12
解析：依题意知a＞0，b＞0，则＋≥2
ab
22212＝，当且仅当＝，即b＝2a时等号成立．因ababab
1222
为＋＝ab，所以ab≥，即ab≥22，所以ab的最小值为22. abab
4. 已知正实数x，y满足xy＋2x＋y＝4，则x＋y的最小值为__________． 答案：26－3
4－2x66
解析：由xy＋2x＋y＝4，解得y＝，则x＋y＝x－2＋＝(x＋1)＋－3≥26－3，
x＋1x＋1x＋1
6
当且仅当x＋1＝，即x＝6－1时等号成立．所以x＋y的最小值为26－3.
x＋1
5. 已知正实数x，y满足(x－1)(y＋1)＝16，则x＋y的最小值为__________． 答案：8
161616
解析：由题知x－1＝，从而x＋y＝＋(y＋1)≥216＝8，当且仅当y＋1＝，即y
y＋1y＋1y＋1
＝3时取等号．所以x＋y的最小值为8.
x＋8y
6. 已知正数x，y满足x＋2y＝2，则的最小值为__________．
xy
答案：9
x＋8y1?18?1xy11x解析：＝?＋?(x＋2y)＝(2＋8＋＋·16)≥(10＋216)＝×18＝9，当且仅当＝4，
xy2?yx?2yx22y
14
x＋2y＝2，即y＝，x＝时等号成立．
33
xy
7. 若x>0，y>0，则＋的最小值为________．
x＋2yx
1
答案：2－ 2
yxy11?1?1
解析：(解法1)设t＝(t>0)，则＋＝＋t＝＋?t＋?－≥2
xx＋2yx1＋2t1??2?2?t＋2??
?2?当且仅当t＝
111－＝2－，222
2－1y2－1
，即＝时等号成立. 2x2
2
xxyt1（t－2）－8
(解法2)设t＝(t>0)，令＋＝＋＝f(t)，则f′(t)＝22，易知当t＝2
yx＋2yxt＋2tt（t＋2）
1
＋22时，f(t)min＝2－. 2
33
8. 已知x＞0，y＞0，若不等式x＋y≥kxy(x＋y)恒成立，则实数k的最大值为________． 答案：1
22
（x＋y）（x－xy＋y）
解析：由题设知k≤，
（x＋y）xy
22
x－xy＋yxy∴k≤＝＋－1恒成立．
xyyx
xy
∵＋－1≥2－1＝1，当且仅当x＝y时等号成立，从而k≤1，即k的最大值为1. yx
114x9y
9. 已知正数x，y满足＋＝1，则＋的最小值为________．
xyx－1y－1
答案：25
114x9y4（x－1）＋49（y－1）＋949
解析：由＋＝1，得x＋y＝xy，＋＝＋＝13＋＋＝xyx－1y－1x－1y－1x－1y－1
9x＋4y－134y9xx2?11?13＋＝9x＋4y＝(9x＋4y)?＋?＝13＋＋≥13＋236＝25，当且仅当＝时等号成xy－x－y＋1xyy3?xy?立．
22
10. 若不等式x－2y≤cx(y－x)对任意满足x＞y＞0的实数x，y恒成立，则实数c的最大值为________．
答案：22－4
222x－2y2y
1－222222
xxx－2yy1－2t2t－1
解析：由题意可得c≤，令＝t，则0 xy－xxy－xyxt－11－t －12 xx 22 2t－12（1－u）－111 ＝1－t，则0 1－tuuu故实数c的最大值为22－4. 二、 解答题 2y22 11. 设x≥0, y≥0，x＋＝1，求x1＋y的最大值． 2 y222 解： ∵ x≥0, y≥0, x＋＝1，∴ x1＋y＝x（1＋y）＝ 2 2 y12 x＋＋2 22321＋y323222 2×＝.当且仅当x＝，即x＝，y＝时， x1＋y取得最大值. 242224 2 12. 某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左、右内墙保 2 留3 m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x(m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(m)． (1) 求S关于x的函数解析式； (2) 求S的最大值． 2 2 1＋yx＋2 21＋y2 2x×≤2×＝ 22 2 2 解：(1) 由题设，得S＝(x－8)? ?900－2?＝－2x－7 200＋916，x∈(8，450)． ?x?x? 7 2007 200 (2) 因为8 xx 从而S≤676. 2 故当矩形温室的室内长为60 m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 m. 13. 某地区共有100户农民从事蔬菜种植，据调查，每户年均收入为3万元．为了调整产业结构，当地政府决定动员部分种植户从事蔬菜加工．据估计，如果能动员x(x>0，x∈N)户农民从事蔬菜加工，那么剩下从事蔬菜种植的农民每户年均收入有望提高2x%，从事蔬菜加工的农民每户年均收入为?3x?3?a－?(a>0)万元． ?50? (1) 在动员x户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的年总收入不低于动员前从事蔬菜种植的农民的年总收入，试求x的取值范围； (2) 在(1)的条件下，要使100户农民中从事蔬菜加工的农民的年总收入始终不高于从事蔬菜种植的农民的年总收入，试求实数a的最大值． 解：(1) 由题意得3(100－x)(1＋2x%)≥3×100， 2 即x－50x≤0，解得0≤x≤50. 因为x>0，所以0 ?3x?(2) 从事蔬菜加工的农民的年总收入为3?a－?x万元，从事蔬菜种植的农民的年总收入为3(100?50? 2 3x?x?－x)(1＋2x%)万元，根据题意，得3?a－?x≤3(100－x)(1＋2x%)恒成立，即ax≤100＋x＋恒成25?50? 100x100x 立．又x>0，所以a≤＋＋1恒成立，而＋＋1≥5(当且仅当x＝50时取等号)，所以a的最 x25x25 大值为5. 第4课时 不等式的综合应用 一、 填空题 1. 已知log2x＋log2y＝1，则x＋y的最小值为________． 答案：22 解析：由log2x＋log2y＝1得x>0，y>0，xy＝2，x＋y≥2xy＝22.
最新的年高考数学一轮复习第六章不等式课时训练(含答案)
