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正三棱柱ABC?A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，
A
F
C O D A1?AO⊥平面BCC1B1．
连结B1O，在正方形BB1C1C中，O，D分别为
C1
BC，CC1的中点，
B
?B1O⊥BD， ?AB1⊥BD．
在正方形ABB1A1中，AB1⊥A1B，
B1
?AB1⊥平面A1BD．
（Ⅱ）设AB1与A1B交于点G，在平面A1BD中，作GF⊥A1D于F，连结AF，由（Ⅰ）得AB1⊥平面A1BD．
?AF⊥A1D，
?∠AFG为二面角A?A1D?B的平面角．
在△AA1D中，由等面积法可求得AF?又
45， 5AG?1AB1?2， 2?sin∠AFG?AG210． ??AF454510． 4所以二面角A?A1D?B的大小为arcsin（Ⅲ）△A1BD中，BD?A，A1B?22，?S△A1BD?6，S△BCD?1． 1D?5在正三棱柱中，A1到平面BCC1B1的距离为3． 设点C到平面A1BD的距离为d． 由VA1?BCD?VC?A1BD得S△BCD1313?S△A1BDd，
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?d?3S△BCD2． ?S△A1BD22． 2?点C到平面A1BD的距离为
解法二：（Ⅰ）取BC中点O，连结AO． △ABC为正三角形，?AO⊥BC．
在正三棱柱ABC?A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，
?AD⊥平面BCC1B1．
取B1C1中点O1，以O为原点，OB，OO1，OA的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直
0，3)，B1(1，2，0)， 角坐标系，则B(1，0，0)，D(?11，，0)，A1(0，2，3)，A(0，1，0)，BA1?(?1?AB1?(1，2，?3)，BD?(?2，，2，3)．
AB1BD??2?2?0?0，AB1BA1??1?4?3?0， ?AB1⊥BD，AB1⊥BA1．
A z ?AB1⊥平面A1BD．
（Ⅱ）设平面A1AD的法向量为n?(x，y，z)．
C F D A1 AD?(?11，，?3)，AA1?(0，2，0)．
O B x C1 y n⊥AD，n⊥AA1，
??nAD?0，???x?y?3z?0，??y?0，??????
???2y?0，?x??3z．?nAA1?0，?0，1)为平面A1AD的一个法向量． 令z?1得n?(?3，由（Ⅰ）知AB1⊥平面A1BD，
B1
?AB1为平面A1BD的法向量．
cos?n，AB1??nAB1nAB1??3?36??．
42226． 4?二面角A?A1D?B的大小为arccos2020年最新
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（Ⅲ）由（Ⅱ），AB1为平面A1BD法向量，
BC?(?2，0，，0)AB1?(1，2，?3)．
?点C到平面A1BD的距离d?
BCAB1AB1??222?2． 219．本小题考查函数、导数及其应用等知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力，满分12分． 解：（Ⅰ）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为：
L?(x?3?a)(12?x)2，x?[9，11]．
2（Ⅱ）L?(x)?(12?x)?2(x?3?a)(12?x)
?(12?x)(18?2a?3x)．
2． a或x?12（不合题意，舍去）
32283≤a≤5，?8≤6?a≤．
332在x?6?a两侧L?的值由正变负．
329所以（1）当8≤6?a?9即3≤a?时，
32令L??0得x?6?Lmax?L(9)?(9?3?a)(12?9)2?9(6?a)．
（2）当9≤6?2289a≤即≤a≤5时， 33223Lmax222???????1??L(6?a)??6?a?3?a??12??6?a???4?3?a?，
333???????3?9?9(6?a)， 3≤a?，?2?所以Q(a)?? 319?4?3?a?， ≤a≤5???2??3?答：若3≤a?9，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值22?9?；若≤a≤5，则当每件售价为?6?a?元时，分公司一年的Q(a)?9(6?a)（万元）
3?2??1?利润L最大，最大值Q(a)?4?3?a?（万元）．
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20．本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力．满分14分． 解法一：（Ⅰ）设点P(x，y)，则Q(?1，y)，由QPQF?FPFQ得： (x?1，0)(2，?y)?(x?1，y)(?2，y)，化简得C:y2?4x． （Ⅱ）设直线AB的方程为：
x?my?1(m?0)．
设A(x?1，y1)，B(x2，y2)，又M???1，?2?m??， 联立方程组??y2?4x，?x?my?1，，消去x得：
y2?4my?4?0，??(?4m)2?12?0，故
??y1?y2?4m，?y 1y2??4．由MA??1AF，MB??2BF得：
y1?2m???21y1，y2?m???2y2，整理得： ?21??1?my，???1?22， 1my2??1??2??2?2?m?1?y?1?? 1y2???2?2y1?y2my
1y2??2?24mm?4
?0．
解法二：（Ⅰ）由QPQF?FPFQ得：FQ(PQ?PF)?0，
?(PQ?PF)(PQ?PF)?0，
?PQ2?PF2?0，
?PQ?PF．
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y Q P B O F x A M 2020年最新
所以点P的轨迹C是抛物线，由题意，轨迹C的方程为：y?4x． （Ⅱ）由已知MA??1AF，MB??2BF，得?1?2?0． 则：
2MAMB???1AF?2BF．…………①
过点A，B分别作准线l的垂线，垂足分别为A1，B1， 则有：
MAMB?AA1BB1?AFBFAFBF．…………②
由①②得：??1AF?2BF?，即?1??2?0．
21．本小题考查数列的基本知识，考查等差数列的概念、通项公式与前n项和公式，考查等比数列的概念与性质，考查化归的数学思想方法以及推理和运算能力．满分12分
??a1?2?1，解：（Ⅰ）由已知得?，?d?2，
??3a1?3d?9?32
故an?2n?1?2，Sn?n(n?2)． （Ⅱ）由（Ⅰ）得bn?Sn?n?2． n2假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br（p，q，r互不相等）成等比数列，则bq?bpbr．
2即(q?2)?(p?2)(r?2)．
?(q2?pr)?(2q?p?r)2?0
p，q，r?N?，
2?q2?pr?0，?p?r??? ??(p?r)2?0，?p?r． ??pr，2???2q?p?r?0，与p?r矛盾．
所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列．
22．本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．满分14分．
xx解：（Ⅰ）由k?e得f(x)?e?ex，所以f?(x)?e?e．
由f?(x)?0得x?1，故f(x)的单调递增区间是(1，??)，
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2020年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(福建.理)含答案
