二、多元线性回归模型
在多要素的地理环境系统中，多个（多于两个）要素之间也存在着相互影响、相互关联的情况。因此，多元地理回归模型更带有普遍性的意义。 （一）多元线性回归模型的建立
假设某一因变量y受k个自变量x1,x2,...,xk的影响，其n组观测值为（ya,x1a,x2a,...,xka），
a?1,2,...,n。那么，多元线性回归模型的结构形式为：
ya??0??1x1a??2x2a?...??kxka??a（3.2.11）
式中：
?0,?1,...,?k为待定参数； ?a为随机变量。
如果b0,b1,...,bk分别为?0,?1,?2...,?k的拟合值，则回归方程为
?=b0?b1x1?b2x2?...?bkxk（3.2.12）
式中：
b0为常数；
b1,b2,...,bk称为偏回归系数。
偏回归系数bi（i?1,2,...,k）的意义是，当其他自变量xj（j?i）都固定时，自变量xi每变化一个单位而使因变量y平均改变的数值。
根据最小二乘法原理，?i（i?0,1,2,...,k）的估计值bi（i?0,1,2,...,k）应该使
??Q???ya?ya????ya??b0?b1x1a?b2x2a?...?bkxka???min（3.2.13）
?a?1?a?1有求极值的必要条件得
n??Q?????2y?y???0?aa??b0??a?1?（3.2.14） ??Qn??????2??ya?ya?xja?0(j?1,2,...,k)??a?1???bjn?2n2将方程组（3.2.14）式展开整理后得：
教资材料a 1
?nnnn?nb0?(??x1a)b1?(?x2a)b2?...?(a?1a?1?xka)bk?a?1?yaa?1?nnnnn?(x??1a)b0?(?x21a)b1?(?x1ax2a)b2?...?(?x1axka)bk??x1ayaa?n?1an?1a?1na?n1a?n1)b （3.2.15） ?(?x22a0?(?x1ax2a)b1?(?x2a)b2?...?(?x2axka)bk??x2aya?a?1a?1a?1a?1a?1??nnn...nn??(?xka)b0?(a?1?x1axka)b1?(?x2axka)b2?...?(1?x2ka)bk?a?1?xkayaa?1a?a?1
方程组（3.2.15）式，被称为正规方程组。 如果引入一下向量和矩阵：
??b0??1x11x21...xk1??b??y1?1????x22...x?k2?b???bY??y?2??1x122?,?,X??1x13x23...xk3? ??...???...?.........?????y???......n?b??k??1x1nx2n...x?kn???111...1?x11x21...xk1??x11x12x13...x???11n??1x12x22...x?k2?A?XTX???x21x22x23...x2n?x13x23...xk3???...............????1??x?...............? ?k1xk2xk3...x?kn??1x1nx2n...x?kn????n?nnnx1a?x2a...x?a???n?x1a?n1na?1?ka?na?1?x21a?x1ax?2a...?x1axka??a?1a?1a?1a?1??n???x2a?nnnx2 1ax2ax2a...?a?11?x2axka?a????n......a?1????xkaa?1?n......a?1n...?nxx2?1axka?x2aka...?1?xka?a?1aa?1????n?y?a??11...1??y?1?1?x??1????11x12x13...x1n??y2???na?x1ay?aB?XTY??a??x21x22x23...x2n????y3??????n?1?x 2aya???...............??...??a?1??xk1x??k2xk3...xkn??y??n??n...??????xkaya?a?1??
教资材料a
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则正规方程组（3.2.15）式可以进一步写成矩阵形式
Ab?B（3.2.15’）
求解（3.2.15’）式可得：
b?A?1B?(XTX)?1XTY（3.2.16）
如果引入记号：
Lij?Lji??(xia?xi)(xja?xj)(i,j?1,2,...,k)
a?1nLiy??(xia?xi)(ya?y)(i?1,2,...,k)
a?1n则正规方程组也可以写成：
?L11b1?L12b2?...?L1kbk?L1y?Lb?Lb?...?Lb?L2112222kk2y??（3.2.15’’） ............??Lb?Lb?...?Lb?Lk22kkkky?k11??b0?y?b1x1?b2x2?...?bkxk
（二）多元线性回归模型的显著性检验
与一元线性回归模型一样，当多元线性回归模型建立以后，也需要进行显著性检验。与前面的一元线性回归分析一样，因变量y的观测值y1,y2,...,yn之间的波动或差异，是由两个因素引起的，一是由于自变量x1,x2,...,xk的取之不同，另一是受其他随机因素的影响而引起的。为了从y的离差平方和中把它们区分开来，就需要对回归模型进行方差分析，也就是将y的离差平方和ST或（Lyy）分解成两个部分，即回归平方和U与剩余平方和Q：
ST?Lyy?U?Q
在多元线性回归分析中，回归平方和表示的是所有k个自变量对y的变差的总影响，它可以按公式
U??(ya?y)??biLiy
a?1i?1n?2k计算，而剩余平方和为
Q??(ya?ya)?Lyy?U
a?1n?2以上几个公式与一元线性回归分析中的有关公式完全相似。它们所代表的意义也相似，即回归平方和越大，则剩余平方和Q就越小，回归模型的效果就越好。不过，在多元线性回归
教资材料a
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多元线性回归模型公式(稻谷书屋)
