专题13 求数列通项公式（解析版）
求数列通项公式主要以考查由递推公式求通项公式与已知前n项和或前n项和与第n项的关系式求通项为重点，特别是数列前n项和Sn与an关系的应用，难度为中档题，题型为选择填空小题或解答题第1小题，同时要注意对数列单调性与周期性问题的复习与训练. 数列解题常见易错点
易错点1：已知数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系式，求an时应注意分类讨论的应用，特别是在利用an＝Sn－Sn－1进行转化时，要注意分n＝1和n≥2两种情况进行讨论，学生特别是容易忽视要检验n＝1是否也适合an.
易错点2：在等比数列求和公式中要注意分两种情况q＝1和q≠1讨论.
易错点3：在解答数列问题时，及时准确地“数清”数列的项数是必不可少的，在数项数时，要把握数列的项的构成规律，找准数列的通项公式的特点并找准项数．如果把数列的项数弄错了，将会前功尽弃．
易错点4：对等差、等比数列的性质理解错误。
等差数列的前n项和在公差不为0时是关于n的常数项为0的二次函数。一般地，有结论“若数列{an}的前n项和Sn=an2+bn+c(a，b，c∈R)，则数列{an}为等差数列的充要条件是c=0”;在等差数列中，Sm，S2m-Sm，S3m-S2m(m∈N*)是等差数列。解决这类题目的一个基本出发点就是考虑问题要全面，把各种可能性都考虑进去，认为正确的命题给以证明，认为不正确的命题举出反例予以驳斥。在等比数列中公比等于-1时是一个很特殊的情况，在解决有关问题时要注意这个特殊情况。
易错点5：数列中的最值错误。
数列的通项公式、前n项和公式都是关于正整数的函数，要善于从函数的观点认识和理解数列问题。但是考生很容易忽视n为正整数的特点，或即使考虑了n为正整数，但对于n取何值时，能够取到最值求解出错。在关于正整数n的二次函数中其取最值的点要根据正整数距离二次函数的对称轴远近而定。
易错点6：利用错位相减法求解数列的前n项和时，应注意两边乘以公比后，对应项的幂指数会发生变化，为避免出错，应将相同幂指数的项对齐，这样有一个式子前面空出一项，另外一个式子后面就会多了一项，两式相减，除第一项和最后一项外，剩下的n－1项是一个等比数列． 题组一:公式法
已知或根据题目的条件能够推出数列?an?为等差或等比数列，根据通项公式
an?a1??n?1?d或an?a1qn?1进行求解.
1.已知?an?是一个等差数列，且a2?1,a5??5，?an?的通项公式an=_________. 2.（2019全国1理9）记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4?0，a5?5，则
12n?2n 223．（2014新课标1）已知?an?是递增的等差数列，a2，a4是方程x?5x?6?0的根．则
an?3n?10 C．Sn?2n2?8n D．Sn?A．an?2n?5 B． an=_________.
4.（2013新课标1）已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3?0，S5??5
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则an=_______. ，
25.（2011新课标）等比数列?an?的各项均为正数，且2a1?3a2?1,a3?9a2a6.
则an=_________.
6．（2013新课标2）已知等差数列{an}的公差不为零，a1?25，且a1，a11，a13成等比数
列．则an=_________.
题组二:已知数列?an?的前n项和sn的解析式，求an.
7.已知数列?an?的前n项和sn?2n-3，通项公式an=_________.
8.数列?an?的前n项和为Sn?n2?2n?3，则an?.
_________________
9.数列?an?满足a1?2a2?3a3???nan?n?n?1??n?2?，则an? __________.
题组三:Sn与an的关系式法
已知数列?an?的前n项和sn与通项an的关系式，求an. 10.已知数列?an?的前n项和sn满足an?1?
11.（2013新课标Ⅰ）若数列?an?的前n项和为Sn?1sn，其中a1?1，an=_________. 321an?，则an=__________. 33
212. (2015新课标Ⅰ)Sn为数列{an}的前n项和，若an?0,an?2an?4Sn?3， 则an=________.
13.(2014新课标1)已知数列{an}的前n项和，Sn?1??an，其中??0， 则an=__________.
14．(2018全国卷Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和，若Sn?2an?1，则S6?_____．
题组四:累加法
当数列?an?中有an?an?1?f?n?，即第n项与第n?1项的差是个有“规律”的数时，就可以用这种方法.
15.已知a1?0,an?1?an?2?n?1?，求通项an
.2n?116.设数列?an?满足a1?2,an?1?an?32，则an=_______；
17.（2015新课标Ⅱ）设Sn是数列?an?的前n项和，且a1??1，an?1?SnSn?1，则
Sn?________．
题组五:累乘法
它与累加法类似 ，当数列?an?中有律”的数时，就可以用这种方法.
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an?f?n?，即第n项与第n?1项的商是个有“规an?1
18.已知a1?1,an?nan?1 ?n?2,n?N?? 求通项an
.n?1
题组六:构造法
在数列?an?中有an?kan?1?b（k,b均为常数且k?0），从表面形式上来看an是关于
an?1的“一次函数”的形式，这时用下面的方法:
（一）一般方法：设an?m?k?an?1?m? 则an?kan?1??k?1?m而an?kan?1?b ?b??k?1?m 即m?
b???数列?an?1??是以k为公比的等比数列，借助它去求an
k?1??
19.已知a1?1,an?2an?1?1 n?2,n?N? 求通项an
bb?b??k?an?1? ，故an??k?1k?1? k?1???
20.已知数列?an?满足a1=1，an?1?3an?1.则an=_____________.
21.在数列?an?中，a1?2,an?1?4an?3n?1,则an=_____________； （二）取倒数法：这种方法适用于an?kan?1man?1?n?2,n?N?（k,m,p均为常数?p?，两边取倒数后得到一个新的特殊(等差或等比)数列或类似于an?kan?1?b的式子. m?0）
2an?122.已知a1?2,an? ?n?2,n?N??，求通项an
.an?1?2an?11?23.已知数列{an}满足a1?且当n?2,n?N,an?， 则an=________.
1?4a5n?1
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专题13求数列通项公式(原卷版)
