2017-2024学年江苏省如东高级中学 高二上学期阶段测试（二）数学试题
数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘 号贴在答题卡上的指定位置。
位 封座2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸 和答题卡上的非答题区域均无效。
密 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
号一、单选题
不场考1．命题p:?x?R，使得x2?1?0的否定为___________. 2．抛物线x2?8y的准线方程是______．
订 3．在等差数列?an?中，已知a2?a8?11，则3a3?a11的值为______.
4．下列命题：①5?4或4?5；②命题“若a?b，则a?c?b?c”的否命题；③命题“矩形的 两条对角线相等”的逆命题.其中假命题的个数为______.
装 号证考5．能够说明“设是实数．若，则”是假命题的一个实数的值为________．
准 只6．“ x?y?3”是“x?1或y?2”的________条件.（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”， “既不充分也不必要”中选择适当的填写）
x2 7．已知双曲线 9?y2卷a?1的右焦点为
?13,0?，则该双曲线的渐近线方程为_______.
名8．关于x的不等式ax?b?0的解集是???,1?，则关于x的不等式ax?b姓x?2?0的解集是 ________.
此 y?0 9．设x,y满足{y?x ，则x?3y的最大值为______.
x?y?1 级班
10．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知，是一对相关曲线的焦点，是它们在第一象限的交点，当时，这一对相关曲线中椭圆的离心
率是____．
11．在等比数列?an?中， 0?a1?a4?1，则能使不等式
??a1?1?????a1?2????a1??aa???n?a??0成立的最大正整数n是______.
1??2?n?12．已知实数满足，，则的最小值为______．
13．各项均为正数的等比数列?a1n?中， a1?，am81?a2??am?8(m?2,m?N?)，若从中
抽掉一项后，余下的m?1项之积为?42?m?1，则被抽掉的是第________项．
14．设a,b,c是正实数，满足b?c?a，则bc?ca?b的最小值为________．
二、解答题
x?1?215．命题p：实数x满足x2?4ax?3a2?0（其中a?0），命题q：实数x满足{x?3 . x?2?0（1）若a?1，且p?q为真，求实数x的取值范围； （2）若?p是?q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
16．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的焦点为F1??4,0?， F2?4,0?，且经过点P?3,1?. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若点M在椭圆上，且OM?12PF1??PF2，求?的值. 17．已知各项均为正数的数列?an?的首项a1?1， Sn是数列?an?的前n项和，且满足：
anSn?1?an?1Sn?an?an?1??anan?1???0,n?N*?.
（1）若a1,a2,a3成等比数列，求实数?的值； （2）若??
1
2，求证：数列??Sn?1??a?为等差数列； n?（3）在（2）的条件下，求Sn.
18．如图所示的自动通风设施.该设施的下部ABCD是等腰梯形，其中AB为2米，梯形的高为1米， CD为3米，上部CmD是个半圆，固定点E为CD的中点. MN是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆（横杆面积可忽略不计），且滑动过程中始终保持和CD平行.当MN位于CD下方和上方时，通风窗的形状均为矩形MNGH（阴影部分均不通风）.
（1）若
?bn?的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q、3.
b2016；
①当q?0时，求
n?1?bn??SS???3q?13n3n3n②当时，设的前项和为，若不等式对n?N恒成立，求实数?的
5（1）设MN与AB之间的距离为x（0?x?且x?1）米，试将通风窗的通风面积S（平方
2米）表示成关于x的函数y?S?x?；
（2）当MN与AB之间的距离为多少米时，通风窗的通风面积S取得最大值？
取值范围；
（2）设
?bn?为等比数列，且首项为b，试写出所有满足条件的?bn?，并说明理由.
x2y2219．已知椭圆C： 2?2?1(a?b?0)的左焦点为F??1,0?，离心率e?.
ab2
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知直线交椭圆C于A， B两点.
（i）若直线经过椭圆C的左焦点F，交y轴于点P，且满足PA??AF， PB??BF.求证：
???为定值；
（ii）若OA?OB（O为原点），求?AOB面积的取值范围.
n??a?d,?N,n??kan?1???qa,n?N?,n*an???qk(k?N,k?2)k?d20．若存在常数、、，使得无穷数列满足 则
称数列
?an?为“段比差数列”，其中常数k、q、d分别叫做段长、段比、段差. 设数列?bn?为“段比
差数列”.
2017-2024学年江苏省如东高级中学 高二上学期阶段测试（二）数学试题
数学 答 案
参考答案
1．?x?R，使得x2?1?0
【解析】特称命题的否定为全称命题，据此可得：
命题p:?x?R，使得x2?1?0的否定为?x?R，使得x2?1?0. 2．y??2
【解析】由题意可得p=4,所以准线方程为y??2,填y??2 3．22 【解析】 试题分析：因为
a2?a8?11?2a5?11，所以3a3?a11?4a5?22.
考点：等差数列性质 4．1
【解析】①真，因为p或q命题是，p,q中，只要一个为真即为真。②真，否命题为：“若ab，则a?cb?c”，不等式两边同时加上或减去一个数，不等式方向不变。③错，逆命题为：“若两上四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形”，为错，如等腰梯形的对角线相等，但不是矩形。所以填1.
5．2
【解析】因为，故 ， 等号成立的条件为 ，
故当
时函数值等于3.此时不满足题干。
故答案为2 。
点睛：这个题目是考查的均值不等式的条件，首先均值不等式的条件是一正，二定，三相等，积是定值时，和有最小值，和是定值时，积有最大值；故首先要构造出乘积的定值，最终确定等号能否取到。
6．充分不必要
【解析】不妨设P:“x?y?3”,q:“x?1或y?2”
?p： x?y?3， ?q:x?1且y?2，显然?q??p,而且?p推不出?q，所以p?q，
且推不回去，即“x?y?3”是“x?1或y?2”的充分不必要条件，填充分不必要。
【点睛】
当命题p与q的关系不好判断时，我们可以考虑写出命题p,q的否定，即?p与?q，分析出?p与?q的关系，再根据互为逆否命题同真同假进行判断。
7．y??23x 【解析】由题意可得c?13,9+a=13,所以a?4，所以双曲线方程y??23x，填y??23x。 8．??1,2?
【解析】由题意可得a?b?0,且a?0，所以不等式ax?bx?2?0的解集为??1,2?，填??1,2?。 【点睛】
解一元二次不等的步骤为，先化标准式，即不等式右边为0，左边最高次系数为正。第二步找到不等式所对应方程的根，一般进行因式分解或判断判别式后用求根公式。第三步是结合不等式所
对应函数图像写出不等式解集。如果有参数要对参数进行分类讨论。即一元一元不等和一元二次不等式的解集分界点是所对应方程的根。
9．2
【解析】根据约束条件画出可行域如下图，目标函数z=x+3y,可化为y??13x?13z，即求截距的最大值。所以过A??1?2,1?2??时， zmax?2，填2。
10．
【解析】试题分析：设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为
，焦距为，
，
，则
，所以
，又由余弦定理得
，即
，代
入得
，又由题意
，即
，代入得
，
，
（1舍去），
所以
．
考点：椭圆与双曲线的几何性质．
【名师点睛】在椭圆与双曲线的问题中，出现焦点三角形时，要用到椭圆（或双曲线）的定义，即曲线上的点到两焦点的距离之和（差）为常数（长轴长（或实轴长））．象本题，由此可把点到两焦点的距离用表示出来，再在
中应用余弦定理，建立起
与的等量关系，而这正是求
离心率所需要的．
11．n?7
【解析】由0?a1?a4?1，得q?1， a1?q?3，代入下式
??a1??1????a1?1?a???a2??a1?n??=?a?1n???1??a??2??a?1?a2?na???1??1a2a?= n?a1?1?qn?1?1?q?n?1?q?a1??1?qn??qn?q7?1?1?1?q?qn?3 ?0，可得n?7，填n?7。 q【点睛】
统一成一个变量q是解决本题的关键，当出现多个变量时，我们常用变量与变量之间的关系统一成一个变量，或通过换元转化成其它的变量，同时注意变量范围。
12．
【解析】
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
13．13
mm?5【解析】由题意可得q?0，设抽掉的一项为at，则a8t???22???1?42?m?1?8??qt?1，得11?mqt?1?86
m?m?1?mm?14a1?a2??a=??1?m?2?8m，
化简得m?1?8??qq2?64，
即q?8，所以
4?t?1?11?mm?1?6， t?1??m?1??11?m?24?m?1?t?m?，
即m?13.逐一检验m=3,4,…,13,可得m=t=13符合。填13。
【点睛】
本题有变量q,t,m但是只有两个等式，一般我们先估算出某个参数范围，再利用t,m?N*的整数进行检验，逐个排除法。即变量个数大于方程数时，我们需要先估计出某个参数范围，再利用整
数性进行逐个检验，另有些是多个变量可以通过换元转化成一个变量。
14．2?12 【解析】b?c?a,2b?c?a?b,1a?b?12b?c,ca?b?c2b?c， bcc?a?b?bc?c2b?c，令t?bc,bc?c2b?c?t?12t?1112t?11112t?1?2?2t?1?2?22?2t?1?2?2?2当且仅当t?2?12时取“=”， 则bc?c1a?b的最小值为2?2．
15．（1）?2,3?.（2）?1,2?.
【解析】试题分析：（1）由a?1,解出命题P为真时的x范围，和q为真时x范围，再由p?q为真，即p和q都为真，两个范围做交运算。（2）因为?p是?q的充分不必要条件，则?p??q，
可得实数a的取值范围。
试题解析：（1）由x2?4ax?3a2?0得?x?3a??x?a??0，
又a?0，所以a?x?3a，
当a?1时， 1?x?3，即p为真时，实数x的取值范围是1?x?3，
x?1?2由{x?3 得{?1?x?3解得2?x?3，即q为真时，实数x?2?0x??3或x?2 ，
x的取值范围是2?x?3，若p?q为真，则p真且q真，
所以实数x的取值范围是?2,3?.
（2）由（1）知p： a?x?3a，则?p： x?a或x?3a，
q： 2?x?3，则?q： x?2或x?3
因为?p是?q的充分不必要条件，则?p??q， 所以{0?a?23a?3 解得1?a?2，故实数a的取值范围是?1,2?.
【点睛】
p?q为真，即p与q同时为真。p?q为假，即p与q中至少有一个为假。 p ? q为真，即p与q至少有一个为真。pq为假，即p与q同时为假。
16．(1) x218?y22?1；(2) ??172或???10.
【解析】试题分析：（1）c=4, 2a?PF1?PF2??3?4?2?12??3?4?2?12?62,可解
得椭圆标准方程。（2）用坐标表示向量式OM?12PF1??PF2，即用?表示M点坐标，代入椭圆方程，可求得?的值。
试题解析：（1）依题意，设椭圆C的标准方程为
x22a2?yb2?1(a?b?0) 2a?PF1?PF2??3?4?2?12??3?4?2?12?62，∴a?32
C的标准方程为x218?y2椭圆2?1
（2）OM?12PF??PF?12??7,?1????0,?1????2??72??1?12?2,?2?? 点M的坐标为M?2??72????2,?1?2??
∵点M在椭圆上，∴1?2??7?21?2218???2???2?????1?2???1
即20?2?4??7?0，解得??12或???710. 【点睛】
解析几何有向量表达式时，我们一般先看一看有没有几何意义，如果没有显著几何意义，一般把向量关系转化为坐标关系再进行运算。
17．(1)1；(2)证明见解析；(3) Sn2?5nn?6.
【解析】试题分析：（1）在题中等式中分号令n=1,2,3,解出a21,a2,a3（用?表示），利用a2?a1a3解得?。（2）由于要证数列??Sn?1??a?为等差数列，所以要构出相除的形式，只需把题中等式两边
n?同时除以anaSn?1Sn?Sn?1,n?n?1，即可证。（3）由（2）a?n?3.再由a2n?{ ，解得an，代n22S1,n?1入上式中可得Sn。
试题解析：（1）令n?1，得a22?1?? 令n?2，得a?42S3?a3S2?a2?a3??a2a3，所以a3?2????1??2??1?
2由a2?a?2?2??421a3，得??1????????1??2??1?，因为??0，所以??1. （2）当??12时， anSn?1?an?1Sn?an?an?1??anan?1， 所以
Sn?1a?Sn?1a?1?1，即Sn?1?1?Sn?1?1 n?1an?1n?1an2an?1an2所以数列??Sn?1??是以2为首项，公差为1的等差数列，
?an?2所以
Sn?1a?2??n?1??1，即Sn?1?n?3. n2an22（3）S?nn?1???2?3?2??an，① 当n?2时， S?n?13n?1?1???2??2??an?1，② ①-②得， an?n?32a?n?2n2an?1 即?n?1?aanan??n?2?an?1，所以n?2?n?1n?1?n?2?，
所以??an??n?2??是首项为13的常数列，所以a1n?3?n?2?， Sn2代入①得?n3??5nn???2?2??an?1?6.
2017-2024学年江苏省如东高级中学
