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等差等比数列练习题(含答案)以及基础知
识点
一、等差等比数列基础知识点 知识归纳： 1．概念与公式：
①等差数列：1°.定义：若数列{an}满足an1and(常数),则{an}称等差数列；
2°.通项公式：ana1(n1)dak(nk)d; 3°.前n项和公式：公式：Snn(a1an)n(n1)na1d. 22②等比数列：1°.定义若数列{an}满足an1，则{an}称等比数列；2°.通项公式：q
anana1qn1akqnka1anqa1(1qn)(q1),当
q=1
时
Snna1. ;3°.前n项和公式：Sn1q1q2．简单性质： ①首尾项性质：设数列{an}:a1,a2,a3,,an,
1°.若{an}是等差数列，则a1ana2an1a3an2; 2°.若{an}是等比数列，则a1ana2an1a3an2. ②中项及性质： 1°.设a，A，b成等差数列，则A称a、b的等差中项，且Aab; 22°.设a,G,b成等比数列，则G称a、b的等比中项，且Gab. ③设p、q、r、s为正整数，且pqrs, 1°. 若{an}是等差数列，则apaqaras; 2°. 若{an}是等比数列，则apaqaras; ④顺次n项和性质：
1°.若{an}是公差为d的等差数列，则a,a,akkk1kn12nk2n13nnkkn2n3nk组成公差为n2d的等差数
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列；
2°. 若{an}是公差为q的等比数列，则偶数时这个结论不成立）
⑤若{an}是等比数列。
a,a,ak1kn1k2n1k组成公差为qn的等比数列.； 2°.若n为偶数，则S偶S奇nd. 2学习要点： 1．学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意①公差d≠0的等差数列的通项公式是项n的一次函数an=an+b;②公差d≠0的等差数列的前n项和公式项数n的没有常数项的二次函数Sn=an2+bn;③公比q≠1的等比数列的前n项公式可以写成“Sn=a(1-qn)的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.
2．解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证明的性质解题.
3．巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：①三数成等差数列，可设三数为“a,a+m,a+2m”②三数成等比数列，可设三数为“a,aq,aq2(或
a，a,aq)”③四数成等差数列，可设四数为q“a,am,a2m,a3m(或a3m,am,am,a3m);”④四数成等比数列，可设四数为“a,aq,aq,aq(或23aa3,,aq,aq),”等等；类似的经验还很多，应在学习中总结经验. 3qq[例1]解答下述问
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题：
111,,成等差数列，求证： abcbccaab,,成等差数列； abcbbba,,c成等比数列. 222已知
[解析]该问题应该选择“中项”的知识解决。
112ac22acb(ac),acbacbbcabbcc2a2abb(ac)a2c2(1)acacac2(ac)22(ac).b(ac)b
bccaab,,成等差数列;abcbbbb2b(2)(a)(c)ac(ac) 2,22242bbba,,c成等比数列.222设数列{an}的前n项和为Sn,且满足a21,2Snn(an1), 2
求证：{an}是等差数列； 若数列{bn}满足: b13b25b3(2n1)bn2n1an6 求证：{bn}是等比数列.
2Snn(an1)[解析]2Sn1(n1)(an11)① ② ②－①得2an(n1)an1nan1(n1)an1nan1,
令n1得a11,a21,令n2得a33,猜想an2n3,用数学归纳法证明:
1）当n1时,a11213,a21223,结论正确; 2）假设nk(k2)时结论正确,即ak2k3,
当nk1时,(k1)ak1kak1k(2k3)12k23k1(2k1)(k1)
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k2,ak12k12(k1)3,结论正确. 1）、2）知，当nN时,an2n3,
an1an(2n1)(2n3)2,即{an}是公差为2的等差数列;(2)设
Tn2n1an62n1(2n3)6,
当
n2
时而
(2n1)bnTnTn12n1(2n3)2n(2n5)(2n1)2n,bn2n(n2),
b14(1)62,也适合,当nN时bn2n,bn12,即{bn}是公比为2的等比数列.bn
[评析]判断一个数列成等差、等比数列主要方法有：根据“中项”性质、根据“定义”判断，或通过“归 纳猜想”并证明.
[例2]解答下述问题：
等差数列的前n项和为Sn,若SP求SPQ(用P,Q表示). [解析]选择公式\\Snanbn\\做比较好，但也可以考虑用性质完成. 3
2QP,SQ(PQ), PQ
Q2aPbPP2[解法一]设Snanbn,PaQ2bQQ① ②
Q2P2①－②得：(PQ)[a(PQ)b],PQ, PQPQ,a(PQ)bPQ,PQ(PQ).PQ2
SPQ(PQ)[a(PQ)b][解法二]不妨设PQ,QPSPSQaQ1aQ2aP PQ(PQ)(aQ1aP)2(PQ).PQ2PQ(PQ)(a1aPQ)PQSPQ,PQ2PQ
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SPQ等比数列的项数n为奇数，且所有奇数项的乘积为1024，所有偶数项的乘积为 1282，求项数n.
[解析]设公比为q,n12a1a3a5an102442 a2a4an11282a1q42(1)
35252
而
a1a2a3an102412822(a1qn1n2352a1qn352123(n1)2352)2,将(1)代入得(2)2,
5n35,得n等差数列{an}中，公差d≠0，在此数列中依次取出部分项组成的数列：
ak1,ak2,,akn恰为等比数列,其中k11,k25,k317, 求数列{kn}的前n项和.
[解析]a1,a5,a17成等比数列,a5a1a17, 2 4
(a14d)2a1(a116d)d(a12d)0d0,a12d,数列{akn}的公比qa5a14d3,a1a1①②
akna13n12d3n1而akna1(kn1)d2d(kn1)d①，② 得kn23n11,3n1{kn}的前n项和Sn2n3nn1[评析]例2是一组等差、等比数列的基本问题，熟练运用概念、公式及性质是解决问题的基本功. [例3]解答下述问题：
三数成等比数列，若将第三项减去32，则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去4，又成等比数列，求原来的
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K12学习等差等比数列练习题（含答案）以及基础知识点
