新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念讲
义新人教A版必修第一册
1.1 集合的概念
最新课程标准:(1)通过实例,了解集合的含义,理解元素与集合的属于关系.(2)针对具体问题,能在自然语言和图形语言的基础上,用符号语言刻画集合.
知识点一 集合的概念
1.元素:一般地,我们把研究对象统称为元素. 2.集合:把一些元素组成的总体叫做集合. 3.集合中元素的特征 特征 确定性 含义 集合中的元素是确定的,即给定一个集合,任何元素在不在这个集合里是确定的.它是判断一组对象是否构成集合的标准 给定一个集合,其中任何两个元素都是不同的,也就是说,在同一个集合中,同一个元素不能重复出现 集合中的元素无先后顺序之分 互异性 无序性 4.集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.
状元随笔 集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素,研究集合问题的核心即研究集合中的元素,因此在解决集合问题时,首先要明确集合中的元素是什么,集合中的元素可以是点,也可以是一些人或一些物.
知识点二 元素与集合的表示及关系 1.元素与集合的符号表示
??元素:通常用小写拉丁字母a,b,c,…表示.表示?
?集合:通常用大写拉丁字母A,B,C,…表示.?
2.元素与集合的关系 关系 语言描述 记法 示例 若A表示由“世界四大洋”组成的集合,则太平洋∈A,长江a属于集合A a是集合 A中的元素 a∈A a不属于集合A a不是集合 A中的元素 a?A ?A 状元随笔 对元素和集合之间关系的两点说明
1.符号“∈”“?”刻画的是元素与集合之间的关系.对于一个元素a与一个集合A而言,只有“a∈A ”与“a?A ”这两种结果.
2.∈和?具有方向性,左边是元素,右边是集合,形如R∈0是错误的. 3.数学中一些常用的数集及其记法
全体非负整数组成的集合称为非负整数集(或自然数集),记作N; 全体正整数组成的集合称为正整数集,记作N或N+; 全体整数组成的集合称为整数集,记作Z; 全体有理数组成的集合称为有理数集,记作Q; 全体实数组成的集合称为实数集,记作R. 知识点三 集合的表示 1.列举法
把集合中的元素一一列举出来,并用大括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法.
2.描述法
一般地,设A是一个集合,我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)},这种表示集合的方法称为描述法.
状元随笔
1.列举法表示集合时的4个关注点 (1)元素与元素之间必须用“,”隔开. (2)集合中的元素必须是明确的. (3)集合中的元素不能重复. (4)集合中的元素可以是任何事物. 2.描述法表示集合时的3个关注点 (1)写清楚集合中元素的符号,如数或点等;
(2)说明该集合中元素的共同特征,如方程、不等式、函数式或几何图形等; (3)不能出现未被说明的字母.
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[教材解难]
1.教材P2思考
例(3)到例(6)都能组成集合
例(3)中的元素为“每一个正方形”
例(4)中的元素为“到直线l的距离等于定长d的所有点” 例(5)中的元素为“方程x-3x+2=0的所有实数根” 例(6)中的元素为“地球上的四大洋” 2.教材P3思考
(1)能,大于等于0且小于等于9的3的倍数.
(2)不能,不等式x-7<3的解集是x<10,元素有无数个,列举不完. 3.教材P5思考
用自然语言、列举法和描述法表示集合时各有各的特点,自然语言只需表达出集合中元素的共同特征,不受形式的限制.列举法和描述法是集合语言,有严格的格式要求.其中列举法非常明确地列出组成集合的元素,适用于表示元素个数较少的集合,但是不易看出元素所具有的特征,且有些集合是不能用列举法表示的,如不等式x-1>0的解集;描述法清楚地表述了元素的共同特征,适用于表示无限集或元素个数较多的有限集,但是不容易看出集合的具体元素.
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[基础自测]
1.下列能构成集合的是( ) A.中央电视台著名节目主持人 B.我市跑得快的汽车 C.上海市所有的中学生 D.香港的高楼
解析:A,B,D中研究的对象不确定,因此不能构成集合. 答案:C
2.下列各组中的两个集合M和N,表示相等集合的是( ) A.M={π},N={3.141 59} B.M={2,3},N={(2,3)}
C.M={x|-1 解析:选项A中两个集合的元素互不相等,选项B中两个集合一个是数集,一个是点集,选项C中集合M={0,1},只有D是正确的. 答案:D 3.集合{x∈N|x-3<2}的另一种表示法是( ) A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4} *