数形结合思想在高中数学的应用
数形结合思想在高中数学的应用
青冈一中 李钊
“数形结合”思想就是研究高中数学问题的重要思想方法,在高中学数学中有着广泛的应用,恰当地运用数形结合思想可以使我们在解决数学问题的过程中化难为易,从而将复杂问题变为简单问题,抽象问题变为具体问题,找到解决问题的金钥匙。
数形结合作为一种重要的数学思想,更就是一种典型的数学解题方法。它就是将知识转化为能力的手段与桥梁,随着新课改的不断进行,信息技术得到广泛的应用,课堂上多媒体应用更有利于体现数形结合的数学思想方法,就是将抽象的数学语言与图象结合起来,就是代数与几何有机的互相转化。本文主要从以下五个方面进行研究: 一、 运用数学结合思想解决函数值域问题 例1、求函数y?x?3?x?5值域、
含有两个绝对值的函数问题就是高中数学的一个重要内容,主要体现在高考选修4-4上,研究值域或最值得问题,我们可以利用数形结合的思想,通过函数的图象非常直观地体现函数的最值问题。这样使问题得到更好的解决、引导学生如何去绝对值符号,把函数写成分段函数的形式,让学生自己动手画函数的图象。 首先将函数进行化简,使其变成分段函数的形式
??2x?8,x?3?y??2,3?x?5
?x?8,x?5?
8 y
数形结合思想在高中数学的应用
在做很多题目时,当我们把图像画出来,从图像中非常直观地就可以瞧出本题的值域了。利用数与形之间的转化它具有直观性,数与形的完美结合,往往起到事半功倍的效果。 二、运用数形结合思想解决对数不等式问题
例2、 使不等式log2(?x)?x?1成立的x的取值范围。
分析:对于此不等式,不就是我们所研究的不等式的形式,运用我们学过的方法根本无法解出来。如果将它与函数联系起来,设
f(x)?log(2?x)?x?1,如果不利用计算机根本无法画出它的图像,所以我
们想到将其转化为两个函数的图像的交点的问题。如右图,在同一坐标系中,作出函数
y?log2(?x)与y?x?1 的图像,其中y?log2(?x)
与y?log2x的图像关于y轴对称。由图像知,当
x??1时,函数y?log2(?x) 的图像在直线y?x?1
的上方,故使log2(?x)?x?1成立的的x取值范围就是(??,?1)。 三、数形结合思想在方程根的分布方面的应用
例3、 已知二次方程ax2?22x?a?1?0(a?R,a?0),有两个正根,求a的取值范围。
分析: 设f(x)?ax2?22x?a?1?0(a?0),由题设可知,二次函数
f(x)的图象与x轴的交点落在x轴的正半轴上。如图:
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?a?0?a?0??2??(?22)?4a(a?1)?0??(?22)2?4a(a?1)?0??所以有?或?, ?f(0)?a?1?0?f(0)?a?1?0???2?0?2?0???a?a解不等式组可得a的取值范围就是1?a?2。
变式训练:已知函数f(x)?x?3?1,g(x)?kx,若方程f(x)?g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围就是( )
11A.(0,) B.(,1) C.(1,3) D.(3,??)
33分析:将f(x)写成分段函数的形式,f(x)??13?x?2,x?3如图,作出y?f(x)?4?x,x?3的图象,其中A(3,1),则koA?关键就是准确地作出函数的图象
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