第七章 差分方程模型
差分方程是解决离散时间问题的常用的数学方法，本章介绍几个用差分方程建立的实际问题的数学模型。
7.1个人住房抵押贷款
随着经济的发展,金融问题正越来越多地进入普通市民的生活，贷款、保险、养老金和信用卡等都涉及金融问题，个人住房抵押贷款是其中最重要的一项。1998年12月,中国人民银行公布了新的存、贷款利率水平,其中贷款利率如表7.1所列:资料个人收集整理，勿做商业用途 表7.1 中国人民银行贷款利率表
贷款期限 半年 利率﹪ 6.12
一年 6.39
三年 6.66
五年 7.20
五年以上 7.56
当贷款期处于表中所列相邻年限之间时利率为对应相邻两数中较大者。其后,上海商业银行对个人住房商业性贷款利率做出相应调整。表7.2和表7.3分别列出了上海市个人住房商业抵押贷款年利率和商业抵押贷款(万元)还款额的部分数据(仅列出了五年)。资料个人收集整理，勿做商业用途 表7.2 上海市商业银行住房抵押贷款利率表
贷款期限 一年 利率﹪ 6.12
二年 三年 四年 6.525
五年 6.660
6.255 6.390
表7.3 上海市商业银行住房抵押贷款分期付款表（元）
贷款期限 一年 二年 三年 四年 五年
月还款 一次还清 444.36 305.99 237.26 196.41 本息总和 10612.0 10664.54 11015.63 11388.71 11784.71
一个自然的问题是,表7.2和表7.3是如何依据中央人民银行公布的存、贷款利率水平制定的？
我们以商业贷款10000元为例,一年期贷款的年利率为6.12﹪,到期一次还本付息总计10612.00元,这很容易理解。然而二年期贷款的年利率为6.255﹪,月还款数444.36元为本息和的二十四分之一,这后两个数字究竟是怎样产生的？是根据本息总额算出月还款额，还是恰好相反？让我们稍微仔细一些来进行分析。由于贷款是逐月归还的,就有必要考察每个月欠款余额的情况。资料个人收集整理，勿做商业用途 设贷款后第k个月时欠款余额为Ak元，月还款m元,则由Ak变化到Ak?1,除了还款额外,还有什么因素呢？无疑就是利息。但时间仅过了一个月,当然应该是月利率,设为r,从而得到资料个人收集整理，勿做商业用途 1 / 18
Ak?1?Ak?rAk?m
或者
Ak?1?(1?r)Ak?m (7.1)
初时条件
A0?10000 (7.2)
这就是问题的数学模型。其中月利率采用将年利率R?0.06255平均。即
r=0.06255/12=0.00512125 (7.3)资料个人收集整理，勿做商业用途 若m是已知的,则由(7.1)式可以求出Ak中的每一项,我们称(7.1)式为一阶差分方程。
模型解法与讨论
（1）月还款额
二年期的贷款在24个月时还清,即
A24=0 (7.4)资料个人收集整理，勿做商业用途 为求m的值,设
Bk?Ak?Ak?1， k=1,2,… （7.5) 易见
Bk?1?(1?r)Bk
于是导出Bk的表达式
Bk?(1?r)k?1B1,k?1,2,L (7.6)
由(7.5)式与(7.6)式得
(1?r)k?1Ak?A0??Bk =[B1]
rj?1k(1?r)k?1(rA0?m)] =[ [
r从而得到差分方程(7.1)的解为
kk Ak?A0(1?r)?m[(1?r)?1]/r,k?1,2,L (7.7)
将A0,A24,r的值和k=24代入得到m=444.36(元),与表7.3中的数据完全一致,这样我们就了解了还款额的确定方法。资料个人收集整理，勿做商业用途 当然还款额表的制定依赖于年利率表,而后者又是怎样制定的呢？尽管我们无法获知银行方面的各种考虑,但还是可以通过比较分析得出一些结论。首先注意表7.2商业性贷款利
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率中有两个数据与中央银行公布的表7.1中的数据相同,不过相应的贷款年限则放宽了一档:6.12﹪是一年期,而在表7.1中是上一档半年期,6.66﹪是五年期而在表7.1中是上一档三年期。其次再考察表7.2商业性贷款二、三、四年期的利率,我们把这三个数字是如何得到的问题留给读者。资料个人收集整理，勿做商业用途 依据这两个结论,请读者自己制定出住房商业性贷款直至二十年的利率表和还款额表。
(2)还款周期
我们看到个人住房贷款是采用逐月归还的方法,虽然依据的最初利率是年利率。那么如果采用逐年归还的方法,情况又如何呢？仍然以二年期贷款为例,显然,只要对(7.7)式中的利率r代之以年利率R=0.06255,那么由k=2, A2=0, A0 =10000,则可以求出年还款额应为资料个人收集整理，勿做商业用途 ~=5473.87(元) m这样本息和总额为
~=10947.73(元) 2m远远超出逐月还款的本息总额。考虑到人们的收入一般都以月薪方式获得,因此逐月归还对于贷款者来说是比较合适的。读者还可以讨论缩短贷款周期对于贷款本息总额的影响。资料个人收集整理，勿做商业用途
（3）平衡点
回到差分方程(7.1),若令Ak?1?Ak?A,可解出
A?m/r (7.8) 称之为差分方程的平衡点或称之为不动点。显然,当初值A0?m/r时,将恒有
Ak?m/r,k?1,2,L。
在住房贷款的例子里,平衡点意味着如果贷款月利率r和月还款额m是固定的,则当初贷款额稍大于或小于A?m/r时,从方程(7.1)的解的表达式(7.7)中容易看出，欠款额Ak随着k的增加越来越远离m/r,这种情况下的平衡点称为不稳定的,对一般的差分方程资料个人收集整理，勿做商业用途 xk?1?f(xk), k=0,1,2，… (7.9)
称满足方程
x?f(x)
的点x*为（7.9）的平衡点。若（7.9）的解
limxk?x* (7.10)则称x*为
k???稳定的平衡点,否则称x*为不稳定的平衡点。判别平衡点x*是否稳定的一个方法是考察导数f'(x*):
（1）当f'(x*)<1时, x*是稳定的; （2）当f'(x*)>1时, x*是不稳定的。
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在金融乃至经济等其他领域中,还有许多问题的数学模型都可以用差分方程来表达。下面再介绍几个典型例子。
7.2养老保险
养老保险是与人们生活密切相关的一种保险类型。通常保险公司会提供多种方式的养老金计划让投保人选择,在计划中详细列出保险费和养老金的数额。例如某保险公司的一份材料指出:在每月交费200元至60岁开始领取养老金的约定下,男子若25岁起投保,届时月养老金2282元;若35岁起投保,月养老金1056元;若45岁起投保,月养老金420元。我们来考察三种情况下所交保险费获得的利率。资料个人收集整理，勿做商业用途 设投保人在投保后第k个月所交保险费及利息累计总额为Fk,那么很容易得到数学模型
??Fk?1?Fk(1?r)?p,k?1,2,?,N (7.11)
?Fk?1?Fk(1?r)?q,k?N?1,N?2,?,M其中,p,q分别是60岁前所交的月保险费和60岁起每月领的养老金数(单位: 元),r是所交保险金获得的利率,N,M分别是投保起至停交保险费和至停领养老金的时间(单位:月).显然M依赖于投保人的寿命,我们取该保险公司养老金计划所在地男性寿命的统计平均值75岁,以25岁投保为例,则有资料个人收集整理，勿做商业用途 p=200,q=2282，N=420,M=600
而初始值F0=0,据此不难得到
kk??Fk?F0(1?r)?p[(1?r)?1]/r,k?0,1,?,N?k?Nk?N??Fk?FN(1?r)?q[(1?r)?1]/r,k?N?1,N?2,?,M
(7.12)
由此可得到关于r的方程如下
(1?r)M?(1?q/p)(1?r)M?N?(1?q/p)?0 (7.13)
记x?1?r,且将已知数据代入,则只需求解方程
x600?12.41x180?11.41?0 (7.14)
由方程(7.14)求得x=1.00485, r=0.00485（非线性方程求近似解）。
对于35岁起投保和45岁起投保的情况,求得保险金所获得的月利率分别为0.00461和0.00413。
7.3金融公司支付基金的流动
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金融机构为保证现金充分支付,设立一笔总额5400万的基金,分开放置在位于A城和B城的两家公司,基金在平时可以使用,但每周末结算时必须确保总额仍然为5400万。经过相当长的一段时期的现金流动,发现每过一周,各公司的支付基金在流通过程中多数还留在自己的公司内,而A城公司有10%支付基金流动到B城公司, B城公司则有12%支付基金流动到A城公司。其初A城公司基金为2600万, B城公司基金为2800万。按此规律,两公司支付基金数额变化趋势如何?如果金融专家认为每个公司的支付基金不能少于2200万,那么是否需要在必要时调动基金?资料个人收集整理，勿做商业用途 设第k?1周末结算时, A城公司B城公司的支付基金数分别为ak?1，bk?1(单位:万元),那么有 ??ak?1?0.9ak?0.12bk k?0,1,2,? (7.15)
?bk?1?0.1ak?0.88bk这是一个差分方程组,初始条件为
a0=2600,b0=2800 (7.16)
通过迭代,可以求出第k周末时的ak和bk的数额,下面的表7.4列出了几种情况下1至12周末两公司的基金数。
表7.4（a） a0?2600,b0?2800的两城支付基金表 k ak bk
k ak bk
2884.8 2515.2 2898.1 2501.9 2908..5 2491.5 2916.7 2483.3 2923.0 2477.0 2927.9 2472.1
1 2676.0 2724.0 2 2735.3 2664.7 3 27815 2618.5 4 2817.6 2582.4 5 2845.7 2554.3 6 2847.7 2532.3
7 8 9 10 11 12
表7.4（b） a0?2800,b0?2600的两城支付基金表
k ak bk
k
ak bk
1 2832.0 2568.0 7 2919.9 2480.1 2 2857.0 2543.0 8 2925.5 2474.5 3 2876.4 2523.6 9 2929.9 2470.1 4 2891.6 2508.4 10 2933.3 2466.7 5 2903.5 2496.5 11 2936.0 2464.0 6 2912.7 2487.3 12 2938.1 2461.9
表7.4（c） a0?3000,b0?2400的两城支付基金表
k ak bk
k
ak bk
1 2988.0 2412 7 2955.0 2445.0 2 2978.6 2421.4 8 2952.9 2447.1 3 2971.3 2428.7 9 2951.3 2448.7 4 2965.6 2434.4 10 2950.0 2450.0 5 2961.2 2438.8 11 2949.0 2451.0 6 2957.7 2442.3 12 2948.2 2451.8
从表7.4（a）中可以看出A城公司支付基金数在逐步增加,但增幅逐步减小; B城公
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差分方程模型应用
