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8.4 三元一次方程组的解法
1．理解三元一次方程(组)的概念；
2．能解简单的三元一次方程组．
一、情境导入
《九章算术》分为9章，并因此而得名．其中第8章为“方程”，里面有这样一道题目(用现代汉语表述)：3束上等的稻，2束中等的稻，1束下等的稻，共出谷39斗；2束上等的稻，3束中等的稻，1束下等的稻，共出谷34斗；1束上等的稻，2束中等的稻，3束下等的稻，共出谷26斗．
问：上、中、下三种稻，每束的出谷量各是多少斗？ 二、合作探究
探究点一：三元一次方程组的概念
下列方程组中，是三元一次方程组的是( )
?x－y＝1，?1??
A.?y＋z＝0， B.?＋z＝2，
y
??xz＝2
?1
?z＋x＝6
2
1
＋1＝1，x
a＋b＋c＋d＝1，m＋n＝18，????C.?a－c＝2， D.?n＋t＝12， ???b－d＝3?t＋m＝0
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解析：A选项中，方程x2－y＝1与xz＝2中含未知数的项的次数11
为2，不符合三元一次方程组的定义，故A选项不是；B选项中，，
xy1
不是整式，故B选项不是；C选项中方程组含有四个未知数，故Cz
选项不是；D选项符合三元一次方程组的定义．故答案为D.
方法总结：满足三元一次方程组的条件：(1)方程组中一共含有三个未知数；(2)每个方程中含未知数的次数都是1；(3)方程组中共有三个整式方程．
探究点二：三元一次方程组的解法 解下列三元一次方程组： z＝y＋x，①??
(1)?2x－3y＋2z＝5，② ??x＋2y＋z＝13；③2x＋3y＋z＝11，①??
(2)?x＋y＋z＝0，② ??3x－y－z＝－2.③
解析：(1)观察各个方程的特点，可以考虑用代入法求解，将①分别代入②和③中，消去z可得到关于x、y的二元一次方程组；(2)观察各个方程的特点，可以考虑用加减法求解，用①减去②可消去z，用①加上③也可消去z，进而得到关于x、y的二元一次方程组．
???4x－y＝5，?x＝2，解：(1)将①代入②、③，消去z，得?解得?把
?2x＋3y＝13.?y＝3.??
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x＝2，??
x＝2，y＝3代入①，得z＝5.所以原方程组的解为?y＝3，
??z＝5；
(2)①－②，得x＋2y＝11.④ ①＋③，得5x＋2y＝9.⑤
??x＋2y＝11，
④与⑤组成方程组?
??5x＋2y＝9.
??
解得?23
??y＝4.
1x＝－，
2
12321
把x＝－，y＝代入②，得z＝－. 244
?
?23
所以原方程组的解是?y＝，
4?21?z＝－4.方法总结：解三元一次方程组的难点在于根据方程组中方程的系数特点选择较简便的方法．(1)一般地，若某一方程的系数比较简单，可选用代入法；(2)若方程组三个方程中某个未知数的系数的绝对值相等或成倍数时，可选用加减消元法，但要注意必须消去同一个未知数，否则所得的两个新方程虽然都含两个未知数，但由它们组成的方程组仍含三个未知数，并未达到消元的目的．
探究点三：三元一次方程组的应用
【类型一】 三元一次方程组在非负数中的应用 1
x＝－，2
人教版七年级下册数学8.4 三元一次方程组的解法 1
