(x?a)(x?a2)?0．
因为a和a2无法确定大小，该不等式没办法继续解下去，所以要对a进行讨论，讨论的标准是a和a的大小上．
解： ⑴ 当0?a?1时，a?a2，不等式的解集为
2?xx?a.or.x?a?；
2 ⑵ 当a?0时，a?a2，不等式解集为
?xx?R.and.x?0?；
⑶ 当a?1时，a?a2，不等式解集为
?xx?R.and.x?1?；
⑷ 当a?1或a?0时，a?a2，不等式解集为
x0?x?a.and.x?a2．
??3.4 分类讨论思想在排列组合中的使用
分类讨论思想在排列组合十分广泛，尤其是在解决有约束条件的排列组合问题时，分类讨论的方法可以把复杂的问题转化为简单的问题．
例3.6 在正方体的八个顶点，12条棱的中点，六个面的中心及正方体的中心一共二十七个点，共线的三点组的个数是多少？
解：依题意，共线的三点组可以分为三类: ⑴ 两端点皆为顶点的共线三点组，共有
8?7； ?28（组）
2⑵ 两端点皆为面的中心的共线三点组，共有
6?1； ?3（组）
2⑶ 两端点皆为各棱中点的共线三点组，共有
12?3； ?18（组）
2所以总共有28?3?18?49（组）．
例3.7 甲 、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一个人，并要求安排甲在另外两位前面，不同的安排共有多少方法？
解：本题考查排列组合，按甲参加的日期分类:
2⑴ 甲周一参加，丙和乙在剩下的4天中选两天参加，共有A4种； 2⑵ 甲周二参加，同理可知有A3种；
2⑶ 甲周三参加，有A2种；
222根据加法原理可知，总共有A4?A3?A2?20种．
3.5 分类讨论思想在数列中的使用
在某些数列问题中也存在不确定的因素，比如等比数列的公比q是否为1；数列的项的个数为偶数还是奇数等等，就那样的数列问题，我们要进行分类讨论．
2x，3x2，4x3，?求它的前n项和． 例3.8 已知数列1，分析：本题未指明数列为等比数列，所以分类讨论时还要考虑x?0这一情况． 解：设Sn?1?2x?3x2???nxn?1， ⑴ 当x?0时，
Sn?1；
⑵ 当x?1时，
Sn?1?2?3???n?⑶ 当x?0且x?1时， 由
n?n?1?；
2Sn?1?2x?3x2???nxn?1，
得
xSn?x?2x2?3x3????n?1?xn?1?nxn，
两式相减:
?1?x?Sn?1?x?x2???xn?11?xn?nx??nxn，
1?xn1?xn?nxn?1?x?． ?Sn?2?1?x?综上所述
??1,?x?0??n?n?1??． ?x?1?sn??2?nn?1?x?nx?1?x?,?x?0,x?1???1?x?2?3.6 分类讨论思想在圆锥曲线中的使用
例3.10 如图（3-2）所示，给定点A?a，0??a?0?和直线l上的动点AB，?BOA的角平分线交AB于点C，求点C的轨迹方程，并说什么曲线．
图3-2
分析：因为动点因点在直线l上的位置的变动而变化，故设出点的坐标??1,b?，b为参数；由题意知C点应为b的表达式，消去参数，即得C点的轨迹方程．本体的关键是如何求C点的坐标，方法有多种，如利用角平分线的定义，性质可得．
解：依题意，记B(1,b),(b?R)，则直线OA和OB的方程分别为y?0和y??bx． 设点C?x,y?，则有
0?x?a，
由点到直线的距离公式得
y?点C在直线AB上，故
y?bx1?b2 ①
y??由x?a?0得
b??将②代入①得
b?x?a?， 1?a?1?a?y ②
x?a
22y2???1?a?x?2ax??1?a?y???0．
⑴ 若y?0，则
?1?a?x2?2ax??1?a?y2?0?0?x?a?；
⑵ 若y?0，则b?0，?AOB??，点C的坐标为?0,0?，满足上式． 综上得点C的轨迹方程为
?1?a?x2?2ax??1?a?y2?0?0?x?a?
此轨迹方程里含有参数a，因参数a的值的不同而导致曲线的形状不同，从而需要对参数a分情况讨论．
Ⅰ当a?1时，方程化为
y2?x?0?x?a? ③ 此时，方程③表示为抛物线弧段； Ⅱ 当a?1时，轨迹方程为
a???x??y21?a?? ??1?0?x?a? ④ 22aa1?a21?a2所以，当0?a?1时，方程④表示椭圆弧段， 当a?1时，方程④表示双曲线支的弧段．
23.7 分类讨论思想在立体几何中的使用
点，线，面是组成几何图形的三个要素，有些立体几何题中，这三者的位置关系是不确定的，因此要对每种情况进行分类讨论求解，这样防止漏解．下面一题是涉及点和线的位置关系不确定的分类讨论．
例3.11 线段AB和平面?平行，平面?的斜线A1A，B1A和平面?所称的角分别
30?和60?且?A1AB??B1BA?90?，AB?a，A1B1?b(b?0)，求AB和平面?的距离．
分析：作AC??，垂足为C，则AC即为所求距离．作BD??，垂足为D，
AB//??AB//CD，由已知可证AB?面A1AC，同理可证AB?面B1BD，
?面A1AC//面B1BD，由面面平行的性质定理可知A1C//B1D．考虑到A1,B1在CD的同
侧或CD异侧，所以分两种情况讨论．
解：⑴ 如图（3-3），A1,B1在CD的同侧时，过点B1作B1E?A1C，垂足为E，由已
00知?AA1C?30，?BB1D?60
设AC?x，则可用x表示，在Rt?A1EB1中，利用勾股定理列方程，解得
x?32b?a2． 2
图3-3 图3-4
⑵ 如图（3-4），A1B1在CD异侧时，在平面α内作A1E?B1D，交其延长线于E，同理可
得AC?32b?a2 43.8 分类讨论思想在实际问题中的使用
近几年来，高、中考的测试命题从知识转向能力测试，出现了许多有鲜活背景的实际使用题。这种实际使用问题，常常需要有分类讨论的思想才能顺利解决．其解题思路是：用数学的语言加以表达和交流，敏捷的接受试题所提供的信息，并和所学的有关知识相结合，确定适当的分类标准，把一个复杂的使用题分解成几个较简单的问题，从而使问题获解．
例3.12 有一批货物，如在本月初出售，可获利10万元，然后将本利都存入银行，每月利率为2.4%，如在下月出售，可获利12万元，但要付0.5万元货物保管费，试问这批货物在本月初出售合算还是下月初出售合算?
解：设这批货物的成本a万元．
⑴ 若这批货物在本月初出售，将本利存入银行，到下月初货主有金额
m??a?10??1?2.4%?；
⑵ 若这批货物在下月初出售，货主有金额为
n?a?12?0.5；
⑶ m?n?0.024a?1.26?0.024?a?52.5?，
?当成本a?52.5时，应该本月初出售合算；
当成本a?52.5时，在本月初出售或下月初出售都一样； 当成本a?52.5时，在下月初出售合算．
2015届毕业论文----分类讨论思想在中学数学中的应用
