目 录
摘要 .................................................................................................................................................. Abstract ............................................................................................................................................. I 第一章 前言 ..................................................................................................................................... 0 1.1 什么是分类讨论思想 ........................................................................................................... 0 1.2 中学生为什么要学习分类讨论思想 ................................................................................... 0 第二章 简述分类讨论思想 ............................................................................................................. 0 2.1 分类讨论思想的要求及其原则 ........................................................................................... 0 2.2 分类讨论思想的标准 ........................................................................................................... 2 2.3 分类讨论思想的常规方法 ................................................................................................... 2 2.3.1 根据概念的属性分类 ................................................................................................... 2 2.3.2 根据定理 法则的适用范围分类 ................................................................................. 3 2.3.3 根据数形结合进行分类 ............................................................................................... 4 2.3.4 依据某些数学性质进行分类 ....................................................................................... 5 2.3.5 依据位置关系进行分类 ............................................................................................... 5 2.3.6 依据参数变化进行分类 ............................................................................................... 6 2.3.7 根据整数的奇偶性进行分类 ....................................................................................... 7 第三章 分类讨论思想在中学数学中的使用 ................................................................................. 8 3.1 分类思想在集合中的使用 ................................................................................................... 8 3.2 分类讨论思想在函数中的使用 ........................................................................................... 9 3.2.1 分段函数中的分类讨论 ............................................................................................... 9 3.2.2 函数中含参数的分类讨论 ......................................................................................... 10 3.3 分类讨论思想在不等式中的使用 ..................................................................................... 11 3.3.1 涉及运算要求的分类讨论 ......................................................................................... 11 3.3.2 含参数不等式的分类讨论 ......................................................................................... 11 3.4 分类讨论思想在排列组合中的使用 ................................................................................. 12 3.5 分类讨论思想在数列中的使用 ......................................................................................... 13 3.6 分类讨论思想在圆锥曲线中的使用 ................................................................................. 14 3.7 分类讨论思想在立体几何中的使用 ................................................................................. 15 3.8 分类讨论思想在实际问题中的使用 ................................................................................. 16 第四章 分类思想的延伸 ............................................................................................................. 17 4.1 绝对值平方法 ..................................................................................................................... 17 4.2 分离变量法 ......................................................................................................................... 18 4.3 换元法................................................................................................................................. 18 4.4 方程和函数的转化法 ......................................................................................................... 19 4.5 换元法................................................................................................................................. 20 总结 ................................................................................................................................................ 21 参考文献......................................................................................................................................... 21 致谢 ................................................................................................................................................ 21
分类讨论思想在中学数学中的使用
学生：XXX 指导教师：XXX
摘要 本文主要研究了分类讨论思想在中学数学中的使用，首先提出了分类讨论思想
的概念并强调了分类讨论思想的要求、原则以及标准；然后举例说明分类讨论思想解题的常规方法以及在中学数学中的使用；最后，基于某些问题进行分类讨论时情况过多，探讨了几类避免分类讨论的方法.在解数学问题时，使用分类讨论思想，通过正确分类，可以使复杂的问题得到清晰，完整，严密的解答.分类讨论的思想在解决某些数学问题时，其解决过程包括多种情形，需要根据所研究的对象存在的差别，按一定标准把原问题分为几个不同的种类，并对每一类逐一地加以分析和讨论，再把每一类结果和结论进行汇总，最终使得整个问题在总体上得到解决.
关键词：正确分类;使用;分类讨论思想;标准
The Application of Categorized Discussion in Secondary
School Mathematics
Student: XXXX Supervisor: XXX
Abstract This paper mainly studies the thought in the middle school
mathematics application classification discussion, firstly puts forward the concept of classification to discuss ideas and to emphasize the requirement classification to discuss ideas, principles and standards; Then discuss the thought of the problem solving illustrates classification routine method and application in middle school mathematics; Finally, based on some problems in classification too much discussion about the situation, discusses the categories to avoid classification method of the discussion. In solving mathematical problems, discuss application of ideas, through the correct classification, can make the complicated problem is clear, complete, rigorous solutions. Classification discussed thoughts when solve some math problems, the solution process includes a variety of circumstances, need according to the different between the object of study, according to a certain standard of the original problem is divided into several different categories, and for each type of analysis and discussion to one by one, then every kind of results and conclusion to carry on the summary, eventually making the whole issue resolved in general.
Key words：proper classification；apply；categorized discussion method；standards
第一章 前言
1.1 什么是分类讨论思想
所谓的分类，就是把一个“类属念”分为若干个“种概念”的逻辑划分方法，用集合论的观点来说，假设讨论的对象的全集为I，按照一定的标准将集合I划分若干个子集Ai（i=1,2,3,…,n），使得??I（其中Ai?Aj为空集，且i≠j).
i?1n由于在研究问题过程中出现了不同情况，从而针对不同的情况进行分类讨论研究的思想，我们称之为分类讨论思想，其实质是一种逻辑划分的思想，是一种“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略．
分类讨论思想，是一种重要的数学思想，也是一种逻辑方法，同时又是一种重要的解题策略．分类讨论思想具有较高的逻辑性及很强的综合性，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性，缜密性，科学性，所以在数学解题中占有重要的位置．
1.2 中学生为什么要学习分类讨论思想
人的年龄在一定程度的时候，思维的训练就变得尤为重要，中学数学的各种概念、原则和法则不是杂乱无章的组合成的，而是在逻辑体系下展开的，这一数学特点决定了数学学习必须具有较强的逻辑推理能力，因此为了学生能建立起一个完善的数学思维体系和应对中学数学的学习任务，掌握分类思想是非常必要的.
在解决数学问题时，对于因为存在一些不确定因素无法解答或者结论不能给予统一表述的数学问题，我们往往将问题按某个标准划分为若干类或若干个局部问题来解决，通过正确的分类，能够克服思维的片面性，可以使复杂的问题得到清晰，完整，严密的解答．
第二章 简述分类讨论思想
2.1 分类讨论的要求及其原则
目前分类讨论的要求：正确使用分类讨论思想，是完整解题的基础．使用分类讨论思想解决问题，必须保证分类科学，统一，不重复，不遗漏，在此基础上减少分类，简化分类讨
论过程．
为了分类的正确性，分类讨论必需遵循一定的原则进行，在中学阶段，我们经常用到的有以下几大原则:
(1）同一性原则
在分类讨论过程中，每次划分的标准必须同一，也就是说每一次分类只能有一个依据，不能交叉使用几个不同的划分标准.因此，在每次分类欠，应当从分类对象的属性中，选只取一个属性作分类标准，即：分类应按照同一标准进行，即每次分类不能同时使用几个不同的分类根据．可以通过集合的思想来解释，如果把研究对象看作全集I，Ai是I的子集并以此分类，且A1?A2???An?I，则称这种分类?A１,A２,?,An?符合同一性原则.
它有两层含义：一是概念应该放在哪一类的衡量尺度；二是两个不同的概念要用同一把尺度来衡量，不然就会出现分类的结果重复或遗漏，使得我们的分类结果混淆不清.
⑵ 互斥性原则
分类后的每个子项应当互不相容，即做到各个子项相互排斥，分类后不能有些元素既属于这个子项，又属于另一个子项．即对于研究对象I，Ai?i?1,2,n?是I的子集，且作
为分类的标准，若Ai?Aj???i,j?1?n,i?j?，则称这种分类符合互斥性原则．
⑶ 相称性原则
分类应当相称，即划分后子项外延的总和（并集），应当和母项的外延相等． ⑷ 层次性原则
分类有一次分类和多次分类之分，一次分类是对被讨论对象只分类一次；多次分类是 把分类后的所有的子项作为母项，再次进行分类，直到满足需要为止． （5）合理性原则
划分后的各个概念的外延总和，应当和被划分概念的外延相等（?Ai?I，称为完备性），
i?1n划分后各个概念之间不能重叠，他们之间的关系应当是互不相容的（即Ai?Aj为空集，且i不等于j，简称为互斥性），通常也把这个原则叫做不重复不遗漏.
(6）逐级性原则
在一些问题光靠一次分类处理是不够的，需对I中的Ak再次分类处理，则称为A的二 级分类，由此类推称为三级分类，四级分类等.比如一次函数的图像和性质，可以先按k?0和k?0分成两类进行讨论，然后每一类又y?kx?b(k?0)可以细分为b?0、b?0、
2015届毕业论文 - -分类讨论思想在中学数学中的应用
