历年考研数学一真题1987-2017
点，左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶导数都是正的，所以对应的点不是拐点．而另外两个点的两侧二阶导数是异
（答案+解析）
（经典珍藏版）最近三年+回顾过去
最近三年篇（2015-2017）
2015年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． １．设函数f(x)在(??,??)上连续，其二阶导数f??(x)的图形如右图所示，则曲线y?f(x)在(??,??)的拐点个数为
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
【详解】对于连续函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存在．从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点，以及一个二阶导数不存在的点x?0．但对于这三个
号的，对应的点才是拐点，所以应该选（C）
2．设y?e2x?(x?)ex是二阶常系数非齐次线性微分方程
y???ay??by?cex的一个特解，则
1213（A）a??3,b?2,c??1 （B）a?3,b?2,c??1 （C）a??3,b?2,c?1 （D）a?3,b?2,c?1
【详解】线性微分方程的特征方程为r2?ar?b?0，由特解可
知r1?2一定是特征方程的一个实根．如果
r2?1不是特征方程的实根，则对应于f(x)?cex的特解的形式应该为Q(x)ex，其
中Q(x)应该是一个零次多项式，即常数，与
条件不符，所以r2?1也是特征方程的另外一个实根，这样由韦达定理可得a??(2?1)??3,b?2?1?2，同时y*?xex是原来方程的一个解，代入可得c??1应该选（A）
３．若级数??an条件收敛，则x?3,x?3依次为级数
n?1??na(x?nn1)的
n?1（Ａ）收敛点，收敛点 （Ｂ）收敛点，发散点 (Ｃ）发散点，收敛点 （Ｄ）发散点，发散点
【详解】注意条件级数???an条件收敛等价于幂级数n?1?anxn在
n?1x?1处条件收敛，也就是这个幂级数的收敛为1，即
?liman?1n??a?1，所以?nan(x?1)n的收敛半径nn?1R?limnann??(n?1)a?1，绝对收敛域为(0,2)，显然x?3,x?3n?1依次为收敛点、发散点，应该选（B）
４．设D是第一象限中由曲线2xy?1,4xy?1与直线
y?x,y?3x所围成的平面区域，函数f(x,y)在D上连续，
则??f(x,y)dxdy?（ ）
D?1（Ａ）??3d??sin12?f(rcos?,rsin?)rdr（Ｂ）
42sin2??1??3d??sin2?1f(rcos?,rsin?)rdr
42sin2??1（Ｃ）??3d?sin12?f(rcos?,rsin?)dr （Ｄ）
4?2sin2??1??3d?sin12?f(rcos?,rsin?)dr
4?2sin2?【详解】积分区域如图所示，化成极坐
标方程：
?也就是D：????????43?11
??2sin???r?sin???1所以??f(x,y)dxdy?sin2?1rcos?,rsin?)rdr，所以应
D??3d??f(42sin2?该选（B）．
??111??1?5．设矩阵A??12a??,b???d??，若集合???1,2?，则线??14a2????d2??性方程组Ax?b有无穷多解的充分必要条件是
（A）a??,d?? （B）a??,d??
（C）a??,d?? （D）a??,d??
【详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换： 方程组无穷解的充分必要条件是r(A)?r(A,b)?3，也就是
(a?1)(a?2)?0,(d?1)(d?2)?0同时成立，当然应该选（D）．
故选择（A）．
7．若A,B为任意两个随机事件，则（ ）
（A）（B）P(AB)?P(A)P(B) P(AB)?P(A)P(B) P(A)?P(B)6．设二次型f(x1,x2,x3)在正交变换x?Py下的标准形为
2y2?y2212?y3，其中P??e1,e2,e3?，若Q??e1,?e3,e2?，则
f(x1,x2,x3)在x?Qy下的标准形为
（A）2y222221?y2?y3 （B）2y21?y2?y3 （C）2y221?y2?y2 （D） 2y221?y2?y233
?100??100【详解】
Q??e,?e?????13,e2???e1,e2,e3??001??P?001??，?0?10????0?10???100?QT???00?1??PT
??010??所以
?QTAQ??100??00?1???PTAP?100??100??2??1?001??????????00?1??1??0?010????0?10????010?????1????0
（C）P(AB)?2 （D）P(AB)?P(A)?P(B)2
【详解】P(A)?P(AB),P(B)?P(AB),所以
P(AB)?P(A)?P(B)2故选择（C）．
8．设随机变量X,Y不相关，且EX?2,EY?1,DX?3，则
E(X(X?Y?2))?（ ）
（A）?3 （B）3
（C） ?5 （D）5
【详解】
E(X(X?Y?2))?E(X2)?E(XY)?2EX?DX?(EX)2?EXEY?2EX00??2
?01????故应该选择（?1?D）． ?10??????1??二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
9．limln(cosx)x?0x2?
【详解】limln(cosx)?tanxx?0x2?limx?02x??12． ?10．?2???sinx?x???dx? ．
2?1?cosx?【详解】只要注意sinx1?cosx为奇函数，在对称区间上积分为
零，
?所以?2?sinx???2????cosx?x?dx?22?1??20xdx?4.
11．若函数z?z(x,y)是由方程ez?xyz?x?cosx?2确定，则
dz|(0,1)? ．
【详解】设F(x,y,z)?ez?xyz?x?cosx?2，则
且当x?0,y?1时，z?0，所以
?zFx?(Fy?(0,1,0)?x|(0,1)??0,1,0)F??1,?z|(0,1)???0, z?(0,1,0)?yFz?(0,1,0)也就得到dz|(0,1)??dx.
12．设?是由平面x?y?z?1和三个坐标面围成的空间区域，则
???(x?2y?3z)dxdydz? ．
?【详解】注意在积分区域内，三个变量x,y,z具有轮换对称
性，也就是
2002?120243．n阶行列式
? ．
002200?12【详解】按照第一行展开，得
D1n?2Dn?1?(?1)n?2(?1)n?1?2Dn?1?2，有Dn?2?2(Dn?1?2)
由于D1?2,D2?6，得D1n?2n?(D1?2)?2?2n?1?2． 14．设二维随机变量(X,Y)服从正态分布N(1,0;1,1;0)，则
P?XY?Y?0?? ．
【详解】由于相关系数等于零，所以X，Y都服从正态分布，
X~N(1,1),Y~N(0,1)，且相互独立．
则X?1~N(0,1)． 三、解答题
15．（本题满分10分）设函数f(x)?x?aln(1?x)?bxsinx，
g(x)?kx3在x?0时为等价无穷小，求常数a,b,k的取值．
【详解】当x?0时，把函数f(x)?x?aln(1?x)?bxsinx展
开到三阶的马克劳林公式，得
由于当x?0时，f(x),g(x)是等价无穷小，则有
???1?a?0???a2?b?0， ???a?3?k解得，a??1,b??1,k??123. 16．（本题满分10分）
设函数y?f(x)在定义域I上的导数大于零，若对任意的
x0?I，曲线y?f(x)在点(x0,f(x0))处的切线与直线x?x0及x轴所围成区域的面积恒为4，且f(0)?2，求f(x)的表达式．
【详解】y?f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为
y?f?(x0)(x?x0)?f(x0)
令y?0，得x?xf(x0)0?f?(x)
0曲线y?f(x)在点(x0,f(x0))处的切线与直线x?x0及x轴所
围成区域的面积为
整理，得y??118y2，解方程，得y?C?18x，由于f(0)?2，
得C?12 所求曲线方程为y?84?x. 17．（本题满分10分）
设函数f(x,y)?x?y?xy，曲线C:x2?y2?xy?3，求
f(x,y)在曲线C上的最大方向导数．
【详解】显然
?f?x?1?y,?f?y?1?x． f(x,y)?x?y?xy在(x,y)处的梯度
gradf????f??x,?f??y????1?y,1?x?
f(x,y)在(x,y)处的最大方向导数的方向就是梯度方向，最
大值为梯度的模gradf?(1?y)2?(1?x)2
历考研数学一真题答案解析
