活页作业(十六)微积分基本定理
x
1．函数F(x)＝
0
t(t－4)dt在[－1,5]上()
A．有最大值0，无最小值32
B．有最大值0和最小值－
332
，无最大值C．有最小值－3D．既无最大值也无最小值
x
解析：F(x)＝
2
13132x2
－2t－4t)dt＝|＝－2xt(tx(－1≤x≤5)．0
033
2
则F′(x)＝x－4x，令F′(x)＝0，得x＝0或4.列表如下：
x F′(x)F(x)
(－1,0)＋
00极大值
(0,4)－
40极小值
(4,5) ＋
32
因此极大值F(0)＝0，极小值F(4)＝－.
3725
又F(－1)＝－，F(5)＝－，
33所以最大值为答案：B
2．下列式子正确的是
b
320，最小值为－.
3
()
A．B．C．D．[
af(x)dx＝f(b)－f(a) baba
f′(x)dx＝f(b)－f(a) f(x)dx＝f(x)
ba
f(x)dx]′＝f(x)
b
解析：
f′(x)dx＝f(x)|a＝f(b)－f(a)．a
b
答案：B 3．设f(x)＝3
A．
4
x0≤x<1，2－x1≤x≤2，
2
2
则
0
f(x)dx＝(
4B．
5
)
5C．
6
2
10
6D．
5
f(x)dx＝
xdx＋
2
2
解析：
0
1225131
(2－x)dx＝x|0＋2x－2x|1＝. 136
答案：C
4．已知自由落体的运动速度1
A．g
23C．g
2
2
v＝gt(g为常数)，则当t从1到2时，物体下落的距离为
B．gD．2g
()
解析：物体下落的距离答案：C
s＝
1221322
|1＝g(2－1)＝g. gtdt＝gt1222
5．设函数f(x)＝x＋ax的导函数为f′(x)＝2x＋1，则5
A．
62C．
3
解析：∵f′(x)＝2x＋1，∴f(x)＝x＋x.
2
2
2
m
21
f(－x)dx的值是()
1B．
21D．
6
∴
1
f(－x)dx＝
131225
－x)dx＝x－x|1＝. (x1326
2
答案：A
a
6．若
0
xdx＝9，则a＝________.
a
2
解析：∵∴a＝3. 答案：3
1
13a13
xdx＝x|0＝a＝9，033
2
7．m＝
0e
x
e
dx与n＝
1x
1
1xdx的大小关系是
x1
m________n(填“>”“或“＝”<”)．
解析：∵m＝
e
edx＝e|0＝e－1，0
n＝
1e
|1＝1，dx＝ln x1x
∴m>n. 答案：>
1
8．定积分
1
－1
(|x|－1)dx的值为________．
0
1
解析：
－1
(|x|－1)dx＝
－1
(－x－1)dx＋
121201
－－x|－x|－＋xx(x－1)dx＝10＝－1. 022
答案：－1
0
9．求
－4
|x＋3|dx的值．
x＋3x≥－3，－x－3x<－3，
解：∵|x＋3|＝
0
∴＝
－4
|x＋3|dx
0
－3
－3－4
(－x－3)dx＋
2
2
(x＋3)dx
x－3x0
＝－－3x|－4＋＋3x|－3
22＝5.
10．如下图所示，在区间影部分的面积
[0,1]上给定曲线
y＝x，试在此区间内确定
2
t的值，使图中阴
S1与S2之和最小．
解：S1等于边长分别为的面积，
即S1＝t·t－
2
t
t与t的矩形面积减去曲线
2
y＝x与x轴和直线x＝t围成的图形
2
23
；xdx＝t03
22
S2等于曲线y＝x与x轴，x＝t及x＝1围成的图形的面积减去一个矩形的面积，长分别为t1－t，
12,
矩形边
即S2＝
2321
xdx－t(1－t)＝t－t＋. t33
2
2
∴阴影部分面积
2
4321
S＝S1＋S2＝t－t＋(0≤t≤1)．
33
1
令S′(t)＝4t－2t＝4tt－＝0，
21
得t＝0或t＝.
2
1
易知当t＝时，S最小．
211
∴最小值为S＝.
24
11．如下图所示，曲线
y＝x－1，x＝2，x＝0，y＝0围成的阴影部分的面积为
2
()
2
A．C．
－1|dx 0|x
20
2
2
B．|D．
|－1)dx(x0
10
2
(x－1)dx
2
(x－1)dx＋
2
21
(1－x)dx
2
解析：由曲线y＝|x2－1|的对称性，所求阴影部分的面积与下图中阴影部分的面积相等，
2
为
0
|x－1|dx，故选A．
2
答案：A
e
12．计算：
e
1
dx＋1x
2
－2
4－xdx＝________.
2
－2
2
解析：
2
1e
|dx＝ln x1＝1－0＝1.而1x
2
－2
4－xdx表示的是圆x＋y＝4在x轴上方部分的
222
面积，故
12
故答案为2π＋1. ×2＝2π．4－xdx＝π
2
答案：2π＋1
lg xx>0，
13．设f(x)＝
a
x＋
0
3tdtx≤0，
2
若f(f(1))＝1，则a＝________.
a
解析：显然f(1)＝lg 1＝0，则f(0)＝0＋答案：1
14．若f(x)＝x＋2
1
2
10
0
3tdt＝
2
3a3
|＝a＝1，得t0
a＝1.
f(x)dx，则
1
∫0f(x)dx＝________.
解析：∵
1
0
f(x) dx
1010
1
＝
0
xdx＋
2
[2
0
f(x)dx]dx
1
131
＝x|0＋[231＝＋23
10
f(x)dx]x|0
f(x)dx，
1
∴
1
f(x)dx＝－. 03
1
3
1
答案：－15．已知b.
＋ax＋3a－b)dx＝2a＋6，且f(t)＝－1(x
3
t
＋ax＋3a－b)dx为偶函数，求a，(x0
3
解：∵g(x)＝x＋ax为奇函数，
1
3
∴∴2b.
－1
(x＋ax)dx＝0，
1
3
－1
3
11
＋ax＋3a－b)dx＝－1(x
(x＋ax)dx＋
3
－1
(3a－b)dx＝0＋(3a－b)[1－(－1)]＝6a－
∴6a－2b＝2a＋6，即2a－b＝3.①又f(t)＝
xa2tat
＋x＋3a－bx|t0＝＋＋(3a－b)t为偶函数，4242
4
4
2
∴3a－b＝0.②由①②得
a＝－3，b＝－9.
3
2
16.已知函数f(x)＝－x＋ax＋bx(a，b∈R)的图像如右图所示，它与且x轴与函数图像所围成的区域
1
(阴影部分)的面积为，求a的值．
12
x轴在原点处相切，
解：∵函数f(x)＝－x＋ax＋bx(a，b∈R)的图像与x轴在原点处相切，∴函数的导数
2
32
f′(x)＝－3x＋2ax＋b，且f′(0)＝b＝0.
2
∴f(x)＝－x(x－a)．
a
∴
14130aaa132
－ax|a＝0－＋＝＝. (x－ax)dx＝x043431212
444
∴a＝±1.
函数f(x)与x轴的交点横坐标一个为
0，另一个为a，根据图形可知
a<0，故a＝－1.
2018年数学同步优化指导练习：第4章2微积分基本定理活页16
