专题突破三 离心率的求法
一、以渐近线为指向求离心率
例1 (1)已知双曲线两渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为________． 23答案 2或
3
解析 方法一 由题意知，双曲线的渐近线存在两种情况． 当双曲线的焦点在x轴上时，
若其中一条渐近线的倾斜角为60°，如图1所示； 若其中一条渐近线的倾斜角为30°，如图2所示，
所以双曲线的一条渐近线的斜率k＝3或k＝b3即＝3或. a3又
b2＝c2－a2，所以
c2－a21
＝3或， a23
3
， 3
423
所以e2＝4或，所以e＝2或. 33
a3
同理，当双曲线的焦点在y轴上时，则有＝3或，
b3b323
所以＝或3，亦可得到e＝或2.
a3323综上可得，双曲线的离心率为2或. 3
方法二 根据方法一得到：当双曲线的焦点在x轴上时，渐近线的倾斜角θ为30°或60°，
123
则离心率e＝＝或2；
cos θ3
当双曲线的焦点在y轴上时，渐近线的倾斜角θ为30°或60°， 123
则离心率e＝＝2或.
sin θ3
23
综上可得，双曲线的离心率为2或. 3
x2y2
(2)已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲
ab线的右支有且只有一个交点，则双曲线的离心率e的取值范围是________． 考点 双曲线的简单几何性质 题点 求双曲线的离心率 答案 [2，＋∞)
b?2b
解析 由题意知≥3，即??a?≥3， a∴e＝
b?2
1＋??a?≥2，
故离心率e的取值范围是[2，＋∞)．
b
点评 (1)双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系，可以借助＝e2－1进行互
a求．一般地，如果已知双曲线离心率的值求渐近线方程，或者已知渐近线方程，求离心率的值，都会有两解(焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况)，不能忘记分类讨论．
(2)当直线与双曲线有一个公共点时，利用数形结合思想得到已知直线与渐近线斜率的关系，b
得到的范围，再利用e＝
a
b?21＋??a?得到离心率的取值范围．
跟踪训练1 中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( ) A.6 B.5 C.
65 D. 22
考点 双曲线的简单几何性质 题点 求双曲线的离心率 答案 D
bb
解析 由题意知，过点(4，－2)的渐近线的方程为y＝－x，∴－2＝－·4，∴a＝2b.
aa方法一 设b＝k(k>0)，则a＝2k，c＝5k， c5k5∴e＝＝＝.
a2k2
b2155
方法二 e＝2＋1＝＋1＝，故e＝.
a442
2
二、以焦点三角形为指向求离心率
x2y2
例2 如图，F1和F2分别是双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，
ab|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为________．
思维切入 连接AF1，在△F1AF2中利用双曲线的定义可求解． 考点 双曲线的简单几何性质 题点 求双曲线的离心率 答案
3＋1
解析 方法一 如图，连接AF1，由△F2AB是等边三角形，知∠AF2F1＝30°.
易知△AF1F2为直角三角形，
2020届高中数学分册同步讲义(选修2-1) 第2章 专题突破三 离心率的求法
