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圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 第4章 态和力学量的表象
4.1 复习笔记
本章介绍了表象理论，阐明了波函数和力学量算符在任一表象中的表达形式，以及在任意两种不同表象之间互相变换的情形，由此引出幺正变换和幺正矩阵的概念。除此之外，还介绍了不需要考虑具体表象的狄拉克符号，这使得量子力学问题的解答更简洁。最后，介绍了占有数表象和升降算符，这是二次量子化理论的基础，从升降算符的对易关系式和反对易关系式，将得出玻色子和费米子的重要概念，这为量子场论和量子统计力学的学习打下基础。
【本章重难点】
1．熟练掌握波函数和力学量算符在任一表象中的矩阵形式的推导过程；
2．了解幺正变换和幺正矩阵的定义和性质，掌握波函数和力学量算符在任意两种不同表象之间互相变换的推导过程；
3．已知力学量算符和矩阵形式，利用久期方程求解本征值和本征函数，以及利用幺正矩阵对角化算符这类问题是常考题型，需要认真掌握；
4．灵活熟练掌握狄拉克符号表示方法和本征矢的封闭性； 5．熟练掌握升降算符的表达形式以及在占有数表象中的应用。
一、任一Q表象下波函数和力学量算符的矩阵表示 1．表象
在量子力学中，称态和力学量的具体表示方式为表象。
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圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 2．态函数在Q表象中的矩阵表示
选定表象后，算符和量子态可以用矩阵表示。在矩阵力学中，Q表象是以Q的本征函数系{un（x）}为基底构成的表象。因此，所有的基矢的集合如Q的本征函数系{un（x）}构成无限维的函数空间，称为希尔伯特空间。
力学量算符Q的本征方程为：Qun（x）＝Qnun（x）。 设?(x,t)∧
⌒
??an(t)un(x)，其中ann??u?n(x)?(x,t)dx。态ψ（x，t）
在Q表象中的矩阵形式可以写为
????a(t)?1?**ψ??a2(t)?,ψ??(a1*(t),a2(t),L,an(t))
???M??a(t)??n?【注】上述表达只针对分立谱情况，当同时存在连续谱和分立谱时，任意波函数ψ（x，t）可表示为
?(x,t)??an(t)un(x)??aq(t)uq(x)dq
n其中，an(t)?∧
**a(t)??(x,t)u?(x,t)u(x)dx；qq(x)dx；uk（x）是力学n??量算符Q的本征函数。
则ψ（x，t）在力学量Q表象中矩阵表示可写为
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www.100xuexi.com 圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 ???a(t)??1??a2(t)??????
?an(t)???????a(t)??q?【注】当同一状态在不同的表象中表示时，表象不同，波函数的形式也不同，但它们描写量子态的是同一状态，这可以类比于一个矢量在不同坐标系有不同的表达形式。
3．算符F在Q表象中的矩阵表示
算符F在Q表象中对应一个矩阵（方阵），矩阵元Fnm为F＝ψ＋Fψ，归一化条件为
—
⌒
*??unFumdx，平均值公式
ψ＋ψ＝I，本征值方为Fψ＝λψ。
【注】此处的态ψ已经是其在Q表象中的矩阵形式。
【重要结论】算符在其自身表象中是一个对角矩阵，主对角线上的各矩阵元的集就是该算符所对应的本征值。
二、幺正变换 1．幺正矩阵 S＋＝S－1
【注】幺正矩阵不是厄米矩阵，厄米矩阵满足
2．变换矩阵
A??A
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www.100xuexi.com 换，如?? 圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 由幺正矩阵所表示的变换称为幺正变换。在量子力学中，两个表象之间的变换是幺正变
(x)??Sn??n(x)中，以Snβ为矩阵元的矩阵S称为变换矩阵。
n变换矩阵的作用：通过变换矩阵，将A表象的基矢ψn变换为B表象的基矢φβ。 【例】在量子力学中，状态随时间的变化可写为：ψ（t）＝U（t）ψ（0）。其中，U（t）＝eiHt/?是幺正算符。
3．力学量算符F由A表象变换到B表象
在A、B表象中，S为两表象之间的幺正变换，算符在两表象之间的变换为F′＝S－1FS。
4．态矢量由A表象变换到B表象
设态ψ在A，B表象中的矩阵表示分别为a、b，S为两表象之间的幺正变换，态在两表象之间的变换为b＝S－1a。
5．幺正变换的两条重要性质 （1）幺正变换不改变算符的本征值； （2）幺正变换不改变矩阵F的迹。
三、狄拉克符号 1．狄拉克符号定义
量子力学中描写态和力学量，可以不用具体的表象，这样的描写方式称为狄拉克符号。
2．狄拉克符号表示方法
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3．本征矢的封闭性
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 量子态可以用狄拉克符号左矢和右矢来表示为|A〉或〈A|，其不依赖于表象。
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?dxx【注】本征矢的封闭性是一条很重要的性质，无论是有关算符的运算或者下一章节的微扰理论有关近似能级和波函数的计算，很多地方都会涉及，如果使用得当，能简化运算。
4．一些公式通常写法与狄拉克符号的写法对照（见表4-1-1）
表4-1-1 一些式子的通常写法与用狄拉克符号的写法对照表
四、线性谐振子与占有数表象
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周世勋《量子力学教程》学习辅导书-第4~8章【圣才出品】
