专题2.1 不等式的性质及常见不等式解法(精讲)(原卷版)

专题2.1 不等式的性质及常见不等式解法

【考纲要求】

1.不等关系：了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景. 2.一元二次不等式：

(1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.

(2)通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. (3)会解一元二次不等式. 3.会解|x＋b|≤c，|x＋b|≥c， |x－a|＋|x－b|≥c， |x－a|＋|x－b|≤c 型不等式. 4.掌握不等式

||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|及其应用.

5．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理等核心数学素养.

【知识清单】

1．实数的大小

(1)数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大.

(2)对于任意两个实数a和b，如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b是负数，那么a

我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些符号的式子，叫做不等式. 3．不等式的性质

(1)性质1：如果a>b，那么bb. 即a>b?b

(2)性质2：如果a>b，b>c，那么a>c. 即a>b，b>c?a>c.

(3)性质3：如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)性质4：①如果a>b，c>0那么ac>bc. ②如果a>b，c<0，那么ac

(5)性质5：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.

(6)性质6：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)性质7：如果a>b>0，那么an>bn，(n∈N，n≥2)． nn(8)性质8：如果a>b>0，那么a>b，(n∈N，n≥2)． 4．一元二次不等式的概念及形式

(1)概念：我们把只含有一个未知数，并且知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． (2)形式：

①ax2＋bx＋c>0(a≠0)； ②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)； ③ax2＋bx＋c<0(a≠0)； ④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．

(3)一元二次不等式的解集的概念：

一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集. 5．分式不等式的解法

定义：分母中含有未知数，且分子、分母都是关于x的多项式的不等式称为__分式不等式__. f?x?f?x?>0?f(x)g(x)__>__0，<0?f(x)·g(x)__<__0. g?x?g?x?

??f?x?g?x? ≥ 0，f?x?

≥0?? g?x??g?x?≠0.?

??f?x?＝0?f(x)·g(x)__>__0或?.

?g?x?≠0?

???f?x?·g?x? ≤ 0，?f?x?＝0f?x?

≤0???f(x)·g(x)__<__0或? g?x??g?x?≠0?g?x?≠0.??

6．简单的高次不等式的解法

高次不等式：不等式最高次项的次数高于2，这样的不等式称为高次不等式. 解法：穿根法

①将f(x)最高次项系数化为正数；

②将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积；

③将每一个一次因式的根标在数轴上，自上而下，从右向左依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根穿过)；

④观察曲线显现出的f(x)的值的符号变化规律，写出不等式的解集． 7.不等式恒成立问题 1．一元二次不等式恒成立问题

?a>0

(1)ax＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足?；

?Δ<0

2

?a>0?

(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足?；

?Δ≤0??a<0

(3)ax＋bx＋c<0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足?；

?Δ<0

2

(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集为

?a<0?

R)时，满足?.

?Δ≤0?

2．含参数的一元二次不等式恒成立．若能够分离参数成kf(x)形式．则可以转化为函数值域求解． 设f(x)的最大值为M，最小值为m.

(1)kf(x)恒成立?k>M，k≥f(x)恒成立?k≥M. 8．绝对值不等式的解法

1．形如|ax＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解． 2．形如|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式 (1)绝对值不等式|x|>a与|x|

(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c(c>0)，|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c(c>0)． 9．绝对值不等式的应用

如果a，b是实数，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．

【考点梳理】

考点一 ：用不等式表示不等关系

【典例1】某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本，若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？ 【规律总结】

用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤：

①审题．通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量．找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等．