2017-2018学年上海市静安区高二下学期期末数学试卷
一、填空题(本大题满分35分)本大题共有10题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,第1-5题,每题填对得3分,第6-10题,每题填对得4分,否则一律得0分. 1.(3分)若经过圆柱的轴的截面面积为2,则圆柱的侧面积为 .
2.(3分)点M(2,3)到直线l:ax+(a﹣1)y+3=0的距离等于3,则a= . 3.(3分)复数z=4.(3分)一个高为为 .
5.(3分)已知复数集中实系数一元二次方程x﹣4x+a=0有虚根z,则|z|的取值范围是 .
6.(4分)圆锥的母线l长为10cm,母线与旋转轴的夹角为30°,则该圆锥的体积为 cm.
7.(4分)某地球仪上北纬60°纬线长度为6πcm,则该地球仪的体积为 cm. 8.(4分)已知方程x+x+p=0(p∈R)有两个根α、β,且|α﹣β|=
2
3
3
2
的共轭复数= .(其中i为虚数单位)
的正三棱锥的底面正三角形的边长为3,则此正三棱锥的表面积
,则p的值为 .
9.(4分)椭圆的中心在原点,对称轴为坐标轴,椭圆短轴的一个顶点 B 与两焦点 F1、F2
组成的三角形的周长为 4+2
且∠F1BF2=
,则椭圆的方程是 .
10.(4分)已知双曲线Γ上的动点P到点F1(﹣1,0)和F2(1,0)的距离分别为d1和d2,∠F1PF2=2θ,且d1?d2sin
2
,则双曲线Γ的方程为 .
二、选择题(本大题满分12分)本大題共有3题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得4分,否则一律得0分。 11.(4分)抛物线x=my上的点到定点(0,4)和定直线y=﹣4的距离相等,则m的值等于( ) A.
B.
C.16
D.﹣16
2
12.(4分)设有两条直线a,b和两个平面α、β,则下列命题中错误的是( ) A.若a∥α,且a∥b,则b?α或b∥α B.若a∥b,且a⊥α,b⊥β,则α∥β C.若α∥β,且a⊥α,b⊥β,则a∥b
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D.若a⊥b,且a∥α,则b⊥α
13.(4分)已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐进线方程为y=±x(a>0,b>0),若双曲线上有一点M(x0,y0),使b|x0|<a|y0|,则该双曲线的焦点( ) A.在x轴上
C.当a>b时,在x轴上
B.在y轴上
D.当a>b时,在y轴上
三、解答题(本大题满分51分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。
14.(9分)已知复数z=3+bi(b∈R),且(1+3i)?z为纯虚数,求|位)
15.(10分)已知动圆M既与圆C1:x+y+4x=0外切,又与圆C2:x+y﹣4x﹣96=0内切,求动圆的圆心M的轨迹方程.
16.(10分)如图,AB是平面α的斜线,B为斜足,AO⊥平面α,O为垂足,BC是平面α上的一条直线,OC⊥BC于点C,∠ABC=60°,∠OBC=45°. (1)求证:BC⊥平面AOC;
(2)求AB和平面α所成的角的大小.
2
2
2
2
|.(其中i为虚数单
17.(10分)(文科)已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面边长为2,AA1=4,点M在线段CC1上.
(1)求异面直线A1B与AC所成角的大小; (2)若直线AM与平面ABC所成角为
,求多面体ABM﹣A1B1C1的体积.
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18.(12分)已知等轴双曲线C:x﹣y=a(a>0)的右焦点为F,O为坐标原点.过F作一条渐近线的垂线FP且垂足为P,(1)求等轴双曲线C的方程; (2)假设过点F且方向向量为值;
(3)假设过点F的动直线l与双曲线C交于M、N两点,试问:在x轴上是否存在定点P,使得
为常数.若存在,求出点P的坐标;若不存在,试说明理由.
的直线l交双曲线C于A、B两点,求
的
.
222
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2017-2018学年上海市静安区高二下学期期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题(本大题满分35分)本大题共有10题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,第1-5题,每题填对得3分,第6-10题,每题填对得4分,否则一律得0分. 1.(3分)若经过圆柱的轴的截面面积为2,则圆柱的侧面积为 2π .
【解答】解:设圆柱的底面半径为r,高为h,则圆柱的轴截面面积为2rh=2,∴rh=1. ∴圆柱的侧面积S=2πrh=2π. 故答案为:2π.
2.(3分)点M(2,3)到直线l:ax+(a﹣1)y+3=0的距离等于3,则a=
2
.
【解答】解:由题意可得:=3,化为:7a+18a﹣9=0.
解得a=或﹣3. 故答案为:或﹣3. 3.(3分)复数z=【解答】解:z=∴复数z=
的共轭复数= ﹣1﹣i .(其中i为虚数单位) =
=
=﹣1+i
的共轭复数是﹣1﹣i
故答案为:﹣1﹣i
4.(3分)一个高为的正三棱锥的底面正三角形的边长为3,则此正三棱锥的表面积为
.
【解答】解:一个高为的正三棱锥S﹣ABC中,AB=AC=BC=3, 取BC中点D,连结AD,SD,过S作SE⊥平面ABC,交AD 于E, 则AE=∴SA=SB=SC=∴此正三棱锥的表面积: S=3S△SBC+S△ABC=
=
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=,DE=
=
,SD=
=,
=1,
.
故答案为:.
5.(3分)已知复数集中实系数一元二次方程x﹣4x+a=0有虚根z,则|z|的取值范围是 (2,+∞) .
【解答】解:复数集中实系数一元二次方程x﹣4x+a=0有虚根z, 则△=16﹣4a<0,解得a>4. z=2则|z|=
i. =
>2,
22
可得|z|的取值范围是(2,+∞). 故答案为:(2,+∞).
6.(4分)圆锥的母线l长为10cm,母线与旋转轴的夹角为30°,则该圆锥的体积为
cm.
3
【解答】解:如图所示,
圆锥的母线l=10cm,母线与旋转轴的夹角为30°, ∴圆锥的底面圆半径为r=lsin30°=10×=5cm; 高为h=lcos30°=10×
=5
2
cm;
2
∴该圆锥的体积为V=πrh=?π?5?5故答案为:
.
=cm.
3
7.(4分)某地球仪上北纬60°纬线长度为6πcm,则该地球仪的体积为 288 cm.
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