（2）如图建立A?xyz空间直角坐标系，A?0,0,0?,B?2,0,0?,
S1,0,3,C(0，4，，0)CS?(1，?4，3)，BC?(?2，4，0)，
??AC?0,4,0?,……………8分
设平面SBC的法向量n??x1,y1,z1?,
??n?BC?0???2x1?4y1?0由? ????n?CS?0?x1?4y1?3z1?0??2323?令y1?1,则x1?2,z1?, ?n??2,1,．…10分 ???33??设平面SCA的法向量m??x2,y2,z2?,
??m?AC?0??4y2?0由?，令x2??3 ，?m??3,0,1. ????m?CS?0?x2?4y2?3z2?0???cosn,m?n?mn?m?219219,?二面角B-SC-A的余弦值为.……………12分
191919． 解：(Ⅰ)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“围棋迷”有25人，…1分
从而2?2列联表如下：
非围棋迷 围棋迷 合计 30 15 45 男 45 10 55 女 75 25 100 合计 ……………3分
将2?2列联表中的数据代入公式计算，得 n(ad?bc)2100(30?10?45?15)2100K????3.030 (a?b)(c?d)(a?c)(b?d)75?25?45?5533因为3.030<3.841，所以没有理由认为“围棋迷”与性别有关. ……………6分
2(Ⅱ)由频率分布直方图知抽到“围棋迷”的频率为0. 25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“围棋迷”的概率为
1.由题意X43 ?1?B?3,?，从而X的分布列为 ?3?X P 0 1 2 27 6427 649 641 64……………10分
13139E?X?=np=3?=. D(X)?3???.……………12分
441644
20.（Ⅰ）设动点N(x,y)，A(x0,y0),因为AB?x轴于B，所以B(x0,0)，……1分 设圆M的方程为M:x2?y2?r2, 由题意得r?41?3?2，
所以圆M的程为M:x2?y2?4.……………3分
由题意,AB?2NB，所以(0,?y0)?2(x0?x,?y)，
?x0?x,所以，即?
y?2y,?0x2?y2?1 ，……………5分 将A(x,2y)代入圆M:x?y?4,得动点N的轨迹方程422x2?y2?1, (Ⅱ)由题意设直线l3x?y?m?0,设直线l与椭圆交于4??y??3x?m,22得13x?83mx?4m?4?0， P(x1,y1),Q(x2,y2)，联立方程?22??x?4y?4,??192m2?4?13(4m2?4)?16(?m2?13)?0，解得m2?13，
?83m?16(?m2?13)?43m?213?m2x1,2??，
26134?m2?13又因为点O到直线l的距离d?，PQ?2x1?x2?2,……………10分
213mS?OPQ1m413?m22m2(13?m2)???2??1. 221313?OPQ面积的最大值为1.……………12分
1?mx?1，1?x21．（Ⅰ）令F(x)?f(x)?x?(1?mx)ln(1?x)?x，则F'(x)??mln(1?x)?x?(0,1)，F\x)??mx?2m?1,……………2分 2(1?x)
①当m??mx?2m?11时，由于x?(0,1)，有F\x)???0， 22(1?x)于是F'(x)在x?(0,1)上单调递增，从而F'(x)?F'(0)?0，因此F(x)在x?(0,1)上单调递增，即F(x)?0；……………3分 ②当m?0时，由于x?(0,1)，有F\x)??mx?2m?1?0， 2(1?x)于是F'(x)在x?(0,1)上单调递减，从而F'(x)?F'(0)?0，
因此F(x)在x?(0,1)上单调递减，即F(x)?F(0)?0不符；……………4分 ③当?12m?1?m?0时，令x0?min{1,?}，当x?(0,x0]时， 2mF\x)??mx?2m?1?0，于是F'(x)在x?(0,x0]上单调递减，
(1?x)2从而F'(x)?F'(0)?0，因此F(x)在x?(0,x0]上单调递减， 即F(x)?F(0)?0而且仅有F(0)?0不符.
综上可知，所求实数m的取值范围是(??,?].……………6分 (Ⅱ)对要证明的不等式等价变形如下：
21n?5?e恒成立，等价变形 对于任意的正整数n，不等式(1?)n1221121)ln(1?)??0相当于（2）中m??，x0?的情形，……………8分 5nnn521F(x)在x?(0,]上单调递减，即F(x)?F(0)?0；……………10分
21211)ln(1?)??0成立； 取x?(n?2)，得：都有(1?n5nnn令n?1000得证. ……………12分 (1?22. （本小题满分10分）选修4—4，坐标系与参数方程
x2?y2?1. 解：（Ⅰ）消去参数?可得C1的直角坐标方程为4曲线C2的圆心的直角坐标为(0,3)，
∴C2的直角坐标方程为x?(y?3)?1.………………4分
22
(2)设M(2cos?,sin?),
则|MC2|?(2cos?)2?(sin??3)2?4cos2??sin2??6sin??9
??3sin2??6sin??13??3(sin??1)2?16.
??1?sin??1，?|MC2|min?2,，|MC2|max?4.
根据题意可得|MN|min?2?1?1,，|MN|max?4?1?5, 即|MN|的取值范围是1,5..………………10分 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 解：（Ⅰ）因为，x?a?x?b??a?b?a?b，
所以f(x)?a?b，当且仅当(x?a)(x?b)?0时，等号成立，又a>0,b>0， 所以|a+b|=a+b，所以f(x)的最小值为a?b,所以a?b?4．.………………5分 （Ⅱ）由（1）知a+b=4,b=4-a，
??12121211328161316162a?b?a??4?a??a?a??(a?)2?, 4949369936131316361116,b=时，a2+b2的最小值为．………………10分 当且仅当a=13134913
2017年河南省郑州市高中毕业年级第一次质量预测--数学（理科）
