新数学高考《空间向量与立体几何》专题解析
一、选择题
1．如下图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E、F分别为棱BB1，CC1的中点，点O为上底面的中心，过E、F、O三点的平面把正方体分为两部分，其中含A1的部分为V1，不含A1的部分为V2，连接A1和V2的任一点M，设A1M与平面A1B1C1D1所成角为?，则
sin?的最大值为（ ）．
A．
2 2B．25 5C．26 5D．26 6【答案】B 【解析】 【分析】
连接EF，可证平行四边形EFGH为截面，由题意可找到A1M与平面A1B1C1D1所成的角，进而得到sinα的最大值. 【详解】
连接EF，因为EF//面ABCD,所以过EFO的平面与平面ABCD的交线一定是过点O且与EF平行的直线，过点O作GH//BC交CD于点G,交AB于H点，则GH//EF,连接EH，FG,则平行四边形EFGH为截面，则五棱柱A1B1EHA?D1C1FGD为V1，三棱柱EBH-FCG为V2，设M点为V2的任一点，过M点作底面A1B1C1D1的垂线，垂足为N，连接A1N,则?MA1N即为
A1M与平面A1B1C1D1所成的角，所以?MA1N=α，因为sinα=
MN,要使α的正弦最大，A1M必须MN最大，A1M最小，当点M与点H重合时符合题意，故sinα的最大值为
MNHN25==, A1MA1H5故选B
【点睛】
本题考查空间中的平行关系与平面公理的应用，考查线面角的求法，属于中档题.
2．如图，在底面边长为4，侧棱长为6的正四棱锥P?ABCD中，E为侧棱PD的中点，则异面直线PB与CE所成角的余弦值是（ ）
A．
34 17B．
234 17C．517 17D．
317 17【答案】D 【解析】 【分析】
首先通过作平行的辅助线确定异面直线PB与CE所成角的平面角，在?PCD中利用余弦定理求出cos?DPC进而求出CE，再在?GFH中利用余弦定理即可得解. 【详解】
如图，取PA的中点F，AB的中点G，BC的中点H，连接FG，FH，GH，EF，
则EF//CH，EF?CH，从而四边形EFHC是平行四边形，则EC//FH， 且EC?FH.
因为F是PA的中点，G是AB的中点，
所以FG为?ABP的中位线，所以FG//PB，则?GFH是异面直线PB与CE所成的角.由题意可得FG?3，HG?1AC?22. 2PD2?PC2?CD236?36?167在?PCD中，由余弦定理可得cos?DPC???，
2PD?PC2?6?69则CE2?PC2?PE2?2PC?PEcos?DPC?17，即CE?17.
FG2?FH2?GH29?17?8317. 在?GFH中，由余弦定理可得cos?GFH???2FG?FH172?3?17故选：D 【点睛】
本题考查异面直线所成的角，余弦定理解三角形，属于中档题.
3．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于（ ）
A．
213 B．
3 C．
12 D．
34 【答案】B 【解析】
分析：先还原几何体，再根据锥体体积公式求结果.
详解：几何体如图S-ABCD，高为1，底面为平行四边形，所以四棱锥的体积等于
1?1?1213=3， 选B.
点睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断求解.
4．已知平面α∩β=l，m是α内不同于l的直线，那么下列命题中错误的是（ ） A．若m∥β，则m∥l C．若m⊥β，则m⊥l 【答案】D 【解析】 【分析】
A由线面平行的性质定理判断.B根据两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面判断.C根据线面垂直的定义判断.D根据线面垂直的判定定理判断. 【详解】
A选项是正确命题，由线面平行的性质定理知，可以证出线线平行；
B选项是正确命题，因为两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面；
C选项是正确命题，因为一个线垂直于一个面，则必垂直于这个面中的直线；
D选项是错误命题，因为一条直线垂直于一个平面中的一条直线，不能推出它垂直于这个平面； 故选：D. 【点睛】
本题主要考查线线关系和面面关系，还考查了推理论证的能力，属于中档题.
B．若m∥l，则m∥β D．若m⊥l，则m⊥β
5．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=
1．则下列结论中正确的个数为 2
①AC⊥BE； ②EF∥平面ABCD；
③三棱锥A﹣BEF的体积为定值； ④?AEF的面积与?BEF的面积相等， A．4 【答案】B 【解析】
试题分析：①中AC⊥BE，由题意及图形知，AC⊥面DD1B1B，故可得出AC⊥BE，此命题正确；②EF∥平面ABCD，由正方体ABCD-A1B1C1D1的两个底面平行，EF在其一面上，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF∥平面ABCD，此命题正确；③三棱锥A-BEF的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DD1B1B距离是定值，故可得三棱锥A-BEF的体积为定值，此命题正确；④由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，故△AEF的面积与△BEF的面积相等不正确 考点：1．正方体的结构特点；2．空间线面垂直平行的判定与性质
B．3
C．2
D．1
6．如图，正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）ABC?A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为2a，则AC1与侧面ABB1A1所成的角是( )
A．30° 【答案】A 【解析】 【分析】
B．45? C．60? D．90?
以C为原点，在平面ABC中，过点C作BC的垂线为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AC1与侧面ABB1A1所成的角． 【详解】
解：以C为原点，在平面ABC中，过点C作BC的垂线为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，
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