??m2为 { 其中 m=0,1,2……
?(?)?Acosm??Bsinm?d2?d?m2?2x?[l(l?1)?]??0 (连带勒让德方程). 和 (1?x)dx2dx1?x221??u1?2u?2u(?)???0.分解为 (2) 柱坐标系下
??????2??2?z2?''(?)???(?)?0 其中有 ?(?)??(??2?),其方程解为
??m2{ 其中 m=0,1,2…… ?(?)?Acosm??Bsinm?d2R1dRm2??(??2)R?0. 和 Z''??Z?0和 2d??d??当??0时,Z=C+Dz,R(?)?{当??0时,Z(z)?Ce2E?Fln?(m?0)E??F/?(m?1,2,3......)?zmm;
?z?De?,方程R转换为
d2RdRx?x?(x2?m2)R?0(x???,m阶贝塞尔方程). 2dxdx 当??0时,Z(z)?Ccos??z?Dsin??z,方程R转换为
d2RdR?x?(x2?m2)R?0(x????,m阶虚宗量贝塞尔方程). x2dxdx2 亥姆霍兹方程 ?v?kv?0.
在x0?0的领域上l阶勒让德方程的解为 y(x)?a0y0?a1y1 其中
2(?l)(l?1)2(2?l)(?l)(l?1)(l?3)4x?x?...2!4!
(2k?2?l)(2k?4?l)...(?l)(l?1)(l?3)...(l?2k?1)2k?x?......(2k)!y0?1?(1?l)(l?2)3(3?l)(1?l)(l?2)(l?4)5x?x?...3!5!
(2k?1?l)(2k?3?l)...(1?l)(l?2)(l?4)...(l?2k)2k?1?x?......(2k?1)!y1?x?
第十章 球函数
l高次项x的系数 al?(2l)! (在乘以适当的常数之后),用递推公式改写后为
2l(l!)2ak?(k?2)(k?1)(2l?2n)!ak?2,则 al?2n?(?1)2.则勒让德多项式l(k?l)(k?l?1)n!2(l?n)!(l?2n)![l/2]为 Pl(x)??(?1)kk?0l/2(l为偶数)(2l?2k)!l?2kx.={. [l/2]lk!2(l?k)!(l?2k)!(l?1)/2(l为奇数)Po(x)?1 P1(x)?x?cos?
11P2(x)?(3x2?1)?(3cos2??1)
2411P3(x)?(5x3?3x)?(5cos3??3cos?)
2811P4(x)?(35x4?30x2?3)?(35cos4??20cos2??9)……
864勒让德多项式是正交的
例题1: 以勒让德多项式为基,在区间[-1,1]上把f(x)=2x?3x?4展开为广义傅里叶
级数.
3解答: 2x?3x?4=f0P0(x)?f1P1(x)?f2P2(x)?f3P3(x)
31321335 则有 f0?f2?4, f1?f3?3, f2?0, f3?2.
22222143 故有2x?3x?4=4P(x)?P(x)?P3(x). 01552 = f0?f1gx?f2g(3x?1)?f3g(5x?3x)
122例题2: 在半径r?r0的球的内部求解拉普拉斯方程使满足边界条件ur?r?cos?.
0解答: 边界条件与?无关,故选择球坐标,则有 u(r,?)??(Alrl?l?0?Bl)Pl(cos?). rl?1 又有自然边界条件 ur?0有限故Bl?0.则有
u(r,?)??ArP(cos?).
llll?02? 而ur?r?cos??012l2ArP(cos?)?x?P(x)?P2(x),则 ?ll033l?0? u(r,?)?1212lArP(cos?)??rP2(cos?). ?ll233r0l?0?
关于数学物理方法总结归纳改
