数学物理方法总结
第一章 复变函数
复数的代数式:z=x+iy
复数的三角式和指数式:z??(cos??sin?)和z??e
i?1iz?iz(e?e)2i欧拉公式:{
1iz?izcosz?(e?e)2sinz??u?u??x?y柯西-黎曼方程(或称为柯西-黎曼条件):{ (其中f(z)=u+iv)
?v?v???x?y函数f(z)=u+iv在点z0及其领域上处处可导,则称f(z)在z0点解析.在区域B上每一点都解析,则称f(z)是在区域B上的解析函数.
解析函数的性质:1.若函数f(z)=u+iv在区域B上解析,则u(x,y)?C1,v(x,y)?C2
(C1,C2为常数)是B上的两组正交曲线族.
2.若函数在区域B上解析,则u,v均为B上的调和函数,即
?2u?2v?2?0 2?x?y例题: 已知某解析函数f(z)的实部u(x,y)?x?y,求虚部和这个解析函数.
22?2v?2u?2v?2u解答: 由于2=2;2=-2;则2?2?0
?y?x?y?x曲线积分法
?u?v?u?v=2x;=-2y.根据C-R条件有:=2y;=2x.
?y?y?x?x于是 dv?2ydx?2xdy;
v???(x,y)(x,y)?(2ydx?2xdy)?C??2xdy?C?2xy?C(x,0)(0,0)(2ydx?2xdy)??(x,y)(x,0)(2ydx?2xdy)?C(x,0)凑全微分显式法 由上式可知 dv?2ydx?2xdy 则易得 dv?d(2xy) 则显然 v?2xy?C
不定积分法 上面已有
?v?v=2y;=2x
?y?x 则第一式对y积分,x视为参数,有 v?2xy??(x)?2xy??(x).
? 上式对x求导有
?v?2y??'(x),而由C-R条件可知 ?'(x)?0, ?x 从而 ?(x)?C.故 v=2xy+C.
f(z)?x?y?i(2xy?C)?z?iC
第二章 复变函数的积分
单连通区域柯西定理 如果函数f(z)在闭单连通区域B上解析,则沿B上任意一分段
光滑闭合闭合曲线l(也可以是B的边界),有
222??f(z)dz?0.
l复连通区域柯西定理 如果f(z)是闭复连通区域上的单值解析函数,则
蜒?f(z)dz???li?1nlif(z)dz?0.式中l为区域外边界线,诸li为
区域内边界线,积分均沿边界线的正方向进行.即
?ilf(z)dz??i?f(z)dz.
i?1lin柯西公式 f(?)?1f(z)dz ??l2?iz??(n)n次求导后的柯西公式 f
第三章 幂级数展开
(z)?n!f(?)?l(??z)n?1d? 2?i?幂级数
?a(z?z)k0k?0?k?a0?a1(z?z0)?a2(z?z0)2?......?ak(z?z0)k?......
其中a0,a1,a2,a3,……都是复常数. 比值判别法(达朗贝尔判别法) 1.若有
limak?1z?z0akz?z0k?1kk???limk??ak?1z?z0?1 ak2k则 a0?a1z?z0?a2z?z0?......?akz?z0?......收敛,
?a(z?z)k0k?0?k?a0?a1(z?z0)?a2(z?z0)2?......ak(z?z0)k?......绝对收敛.
若极限limak/ak?1存在,则可引入记号R,R?limk??k???ak,于是,若z?z0?R,则 ak?1?a(z?z)k0k?0k?a0?a1(z?z0)?a2(z?z0)2?......ak(z?z0)k?......绝对收敛.
2.若z?z0?R,则后项与前项的模之比的极限 lim?ak?1z?z0akz?z0kk0k?1kk???limak?1akk??R?1,即说明
?a(z?z)k?0?a0?a1(z?z0)?a2(z?z0)2?......ak(z?z0)k?......发散.
246例题: 求幂级数1?z?z?z?.....的收敛圆,z为复变数. 解答: 由题意可得 R?limk??2ak?1 ak?146 故 1?z?z?z?......?1 (z?1). 21?z泰勒级数展开 设f(z)在以z0为圆心的圆CR内解析,则对圆内的任意z点,f(z)可展为
幂级数,f(z)??a(z?z)k0k?0?k,其中
f(n)(z0)1f(?), ak?d??k?1??C2?iR1(??z0)k!CR1为圆CR内包含z且与CR同心的圆.
例题: 在z0?0的领域上将f(z)?e展开 解答: 函数f(z)?e的各阶导数fz(n)z(z)?ez,而f(k)(z0)?f(k)(0)?1.
z 则e在z0?0的领域上的泰勒展开
?zz2z3z4zkzk???......?......??. e?1??1!2!3!4!k!k?0k!z 双边幂级数
......?a?2(z?z0)?2?a?1(z?z0)?1?a0?a1(z?z0)?a2(z?z0)?......2
洛朗级数展开 设f(z)在环形区域R2?z?z0?R1的内部单值解析,则对环域上的任
一点z,f(z)可展为幂级数f(z)?k????a(z?z)k0?k.其中
ak?1f(?)?C(??z0)k?1d?, 2?ii积分路径C为位于环域内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭合曲线.
例题1: 在1?z??的环域上将f(z)?1/(z?1)展为洛朗级数.
21111?2?2 解答: 2z?1z1?1z2z111?1???4?6?...... ??2?2zzzk?0?z?2?k 例题2: 在z0?1的领域上将f(z)?1/(z?1)展为洛朗级数. 解答: 由题意得f(z)?1111?(?) z2?12z?1z?1k 则有z-1的-1次项,而
11111?z?1????(?1)k() (z?1?2)
z?1z?1?221?z?12k?022111?z?1k??(?1)k(). 故 f(z)?2z?14k?02
第四章 留数定理
留数定理 设函数f(z)在回路l所围区域B上除有限个孤立奇点b1,b2,……,bn解析,
在闭区域B上除b1,b2,……, bn外连续,则
??f(z)dz?2?i?Resf(b)?2?ialjj?1n?1.
1dm?1{m?1[(z?bj)mf(z)]}. 其中,a?1?Resf(bj)?limz?bj(m?1)!dz推论1: 单极点的留数为Resf(z0)?lim[(z?z0)f(z)].
z?z0推论2: 若f(z)可以表示为P(z)/Q(z)的特殊形式,其中P(z)和Q(z)都在z0点解析,z0是
Q(z)的一阶零点(Q(z0)?0).P(z0)?0,则
Resf(z0)?lim(z?z0)z?z0P(z)?(z?z0)P'(z)P(z0)P(z)?lim?. z?z0Q(z)Q'(z)Q'(z0) 上式最后一步应用了罗毕达法则.
留数定理的应用 类型一
?2?0R(cosx,sinx)dx.作自变量代换 z?eix.则式子变为
z?z?1z?z?1dzI???z?1R(2,2)iz.
例题: 计算 I? 解答: I??2?0dx.
2?cosxdzdz??2i?z?1z2?4z?1, z?z?1z(2?)2?2?0dx??i蜒?z?12?cosx Z的单极点为z1,2??4?16?4??2?3. 2 则Res(?2?3)?2?ilim(z?2?3)z??2?31?i?,
z2?4z?13 由于?2?3不在圆z?1内.故 I?2?. 3
关于数学物理方法总结归纳改
