宜昌市东湖高中、宜都二中2024年秋12月联考
高三（理科）数学
（全卷满分：150分 考试用时：120分钟）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1、已知集合A?xx?16?0,B???5,0,1?则（ ）
2??A．A
B?? B. A?B??0,1? C. B?A D.A?B
2、已知i是虚数单位，则复数z?4?3i的虚部是（ ） 3?4iA. 0 B. i C. ?i D. 1
3、设l，m是两条不同的直线，?是一个平面，则下列命题正确的是（ ） A．若l?m，m??，则l?? B．若l//?，m//?，则l//m C．若l//?，m??，则l//m D．若l??，l//m，则m??
4、曲线y?x在点（1，-1）处的切线方程为（ ） x?2A. y??2x?3 B.
y??2x?1 C. y??2x?3 D. y?2x?1
5、已知等差数列?an?中，前10项的和等于前5项的和，若am?a6?0则m?（ ） A.10 B.9 C.8 D.2
6、已知函数y?2sin(?x??)(??0)为偶函数，0????，其图象与直线y?2的某两个交点的横坐标为x1,x2，若|x2?x1|的最小值为?，则（ ） A. ??2,???1?1? B. ??,?? C. ??,?? 22422
D. ??2,??? 4 - 1 -
?1?x?2?7、 已知在平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组?y?2给定．若M(x,y)为D上
?x?2y?的动点，点A的坐标为(2,1)，则z?OA?AM的最大值为（ ） A．?5 B．?1 C．1 D．0
8、下列三个数：a?ln33?,b?ln???,c?ln3?3，大小顺序正确的是（ ） 22A. a?b?c B. a?c?b C. b?c?a D.b?a?c
(a..?9、等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2n?31?3a.等于（ ） A．－512
B．1024
C．－1024
?a2)1n?a1a2a3，
?8，则a10D．512
10、若将函数f(x)＝sin(2x＋φ)＋3cos(2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象向左平π?π?移个单位长度，平移后的图象关于点?，0?对称，则函数g(x)＝cos(x＋φ)
4?2?
?ππ?在?－，?上的最小值是( ) ?26?
1
A． 2
11、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积分别是（ ） A．24+62和40 C．64+62和40
12. 已知函数y?f(x)是定义域为R的偶函数.
B．24+62和72 D．50+62和72
B．
2 2
C. －
3 2
1D.－
2
6 2 4 正视
侧视
3 俯视
??5sin(x) (?0x???42当x?0时，f(x)???(1)x?1 (x?1)??41)，若关于x的方程[f(x)]?af(x)?b?02（a,b?R），有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（ ）
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A．(?
5995995,?) B．(?,?1) C．(?,?)(?,?1) D．(?,?1) 2442442二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
??????13、平面向量a与b的夹角为60°，a=(2,0)，|b|=1，则|a+2b|＝ .
14、 已知x,y?(0,??)，2
15、如图所示，二面角α - l - β为60°，A、B是棱l上的两点，AC、BD分别在半平面α、β内，且AC⊥l，BD⊥l，AB＝4 ，AC＝6，BD＝8，则CD的长 .
16、如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，EF=如下四个结论：①AC⊥BE；
②EF//平面ABCD；
③三棱锥A—BEF的体积为定值； ④异面直线AE、BF所成的角为定值.
其中正确结论的序号是 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．(10分)等差数列?an?中，a1??1，公差d?0且a2、a3、a6成等比数列，前n项的和为Sn. （1） 求an及Sn； （2） 设bn?
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x?3114?()y，则?的最小值为 . 2xy2，现有21，Tn?b1?b2???bn，求Tn. anan?1
18．(12分) 已知
f(x)?33sin2x?cos2x?. 22???
的最大值； ?2??
1，求?ABC2(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间?0,
a?2,f(A)??(2) 在?ABC中, ?A、?B、?C所对的边分别是a、b、c，
周长L的最大值.
19． (12分) 已知数列?an?中，a1?1，an?1?ann?N*?. ?an?3(1)证明数列??11???为等比数列，并求?an?的通项公式； a?n2?n?an，数列?bn?的前n项和为Tn，求证Tn<4. n2(2)数列?bn?满足bn??3n?1??
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20 ．(12分)如图，四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为AC的中点，PO⊥平面
ABCD，M 为PD的中点，∠ADC = 45o，AD = AC = 1，PO=a
(1)证明：DA⊥平面PAC；
(2)如果二面角M?AC?D的正切值为2，求a的值.
21．(12分) 某工厂去年的某产品的年销售量为100万只，每只产品的销售价为10元，每只产品固定成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元，并计划以后每年比上一年多投入100万元，预计销售量从今年开始每年比上一年增加10万只，第n次投入后，每只产品的固定成本为g(n)＝k(k>0，k为常数，n∈N)，若产品销售价保持不变，第n次投入后的年利润n＋1
为f(n)万元．
(1)求k的值，并求出f(n)的表达式；
(2)若今年是第1年，则第几年年利润最高？最高利润为多少万元？
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22．(12分)已知函数f(x)＝ax－1－ln x(a∈R)． (1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若函数f(x)在x＝1处取得极值，不等式f(x)≥bx－2对?x∈(0，＋∞)恒成立，求实数
b的取值范围；
(3)当x?y?e?1时，证明不等式：exln(1?y)?eyln(1?x)．
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高三（理科）数学参考答案
一 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B D D B A A C B D A C 二 填空题
13. 23 14.3 15.217 16.①②③ 三 解答题
17、（1）a2
n=2n-3；Sn=n-2n；
(2)Tnn=-2n-1； 18、f（x）=sin（2x+
?6）-1 （1）T=?；f（x）的最大值为0 （2）当A=B=C=?3时，L最大值=6
19、（1）a2n=
2n-1 （2）Tn=4-（n+2）??1?n-1?2??
20、（1）略；（2）a=2
21、（1）f（n）=（100+10n）（10-
8n?1）-100n （2）、第8年工厂的利润最高为520万元
22、（1）当a≤0时f（x）在（0，+∞）上是减函数； 当a<0时，f（x）在（0，1a）上为减函数，在（1a，+∞）上增函数； （2）b≤1-1e （3）略
12 C - 7 -
湖北省宜昌市东湖高中宜都二中2024届高三数学(理)12月联考试题(含答案)
