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第2章 “控制系统的状态空间描述”习题解答
2.5 系统的结构如图P2.5所示。以图中所标记的x1、x2、x3作为状态变量，推导其状态空间表达式。其中，u、y分别为系统的输入、输出，?1、?2、?3均为标量。
du32x31x2+1/sa3x3+1/sa2x2+x11/sa1+x1y 图P2.5系统结构图
解 图P2.5给出了由积分器、放大器及加法器所描述的系统结构图，且图中每个积分器的输出即为状态变量，这种图形称为系统状态变量图。状态变量图即描述了系统状态变量之间的关系，又说明了状态变量的物理意义。由状态变量图可直接求得系统的状态空间表达式。
着眼于求和点①、②、③，则有
???①：x1??1x1?x2 ②： x2??2x2?x3③：x3??3x3?u
输出y为y?x1?du，得
&?x?a11??x???0&?2???&??3??x?01a200??x1??0??x???0?u 1???2???a3????x3????1???x1???du
y??100??x2????x3??????u??????y??y?4y?5y?3u；(2) 2?y?3y?u； 2.8 已知系统的微分方程 (1) ???????y?2?y?3y?5y?5?u?7u。试列写出它们的状态空间表达式。 (3) ? .
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&?x2，&&y?x3，则有： (1) 解 选择状态变量y?x1，y
&?x1?x2?x?&2?x3 ?&x??5x?4x?x?3u123?3??y?x1&?x?010??x1??0?1??x???001??x???0?u&2?????2????&??3??x??5?4?1????x3????3??状态空间表达式为：
?x1??y??100??x2????x3??(2) 解 采用拉氏变换法求取状态空间表达式。对微分方程(2)在零初试条件下
取拉氏变换得：
2s3Y(s)?3sY(s)?s2U(s)?U(s)121s?2 Y(s)s?122?3?U(s)2s?3ss3?3s2由公式(2.14)、(2.15)可直接求得系统状态空间表达式为
???010??x1??0?&?x1??x???001??x???0?u &??2????2?????&???3x3?1?3??x????0?0???2??1y????20?x1?1???x2? ?2????x3??(3) 解 采用拉氏变换法求取状态空间表达式。对微分方程(3)在零初试条件
下取拉氏变换得：
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s3Y(s)?2s2Y(s)?3sY(s)?5Y(s)?5s3U(s)?7U(s)
Y(s)5s3?7? U(s)s3?2s2?3s?5在用传递函数求系统的状态空间表达式时，一定要注意传递函数是否为严格真有理分式，即m是否小于n，若m?n需作如下处理
Y(s)5s3?7?10s2?15s?18?3?5?3 22U(s)s?2s?3s?5s?2s?3s?5再由公式(2.14)、(2.15)可直接求得系统状态空间表达式为
&?x?010??x1??0?1??x???001??x???0?u &?2????2????&??3??x??5?3?2????x3????1???x1??? y??100?x2?5u ????x3??2.9 已知下列传递函数，试用直接分解法建立其状态空间表达式，并画出状态变
量图。
s3?s?1s2?2s?3(1)g(s)?3 (2)g(s)?3
s?6s2?11s?6s?2s2?3s?1(1) 解
首先将传函(1)化为严格真有理式即：
Y(s)?6s2?10s?5g(s)??1?3?1?g?(s) 2U(s)s?6s?11s?6令g?(s)?Y?(s)，则有 U?(s)?6s?1?10s?2?5s?3Y?(s)?U?(s)，
1?6s?1?11s?2?6s?3E?(s)?U?(s)1， ?1?2?31?6s?11s?6s .
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即：
E?(s)?U(s)?6s?1E(s)?11s?2E(s)?6s?3E(s)Y?(s)??6sE(s)?10sE(s)?5sE(s)由上式可得状态变量图如下：
?1?2?3
u+++e-6x3x2x1++y-11-6
由状态变量图或公式(2.14)、(2.15)直接求得能控标准型状态空间表达式
&10??x1??0??x?01??x???0??x???0?u &012?????2????&??3??x??6?11?6????x3????1???x1???u
y=?-6-11-6??x2????x3??(2) 解 由已知得：
s?1?2s?2?3s?3Y(s)?U(s)， ?1?2?31?2s?3s?s令： E(s)?U(s)1， ?1?2?31?2s?3s?s?2?3得： 状态变量图如下：
E(s)?U(s)?2s?1E(s)?3s?2E(s)?s?3E(s)Y(s)?sE(s)?2sE(s)?3sE(s)?1
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2uex3x2x1++y+3++-2-3-1状态表达式如下：
??x&1??010??x1??0??x&???001??2?????x?2??0?u ?x&???3?????1?3?2????x3????1???x1?y??321???x?2
?x??3??
2.13 列写图P2.10所示系统的状态空间表达式。
u1cy1-s?au2-dy2s?b 图P2.10
解 设 x1(s)?y1(s) (7) ； x2(s)?y2(s) (8) 则由系统方框图P2.10可得：x1(s)??u1(s)?x2(s)?cs?a x?u(s)?d2(s)?2(s)?x1s?b .
(9) (10)
答案控制系统的状态空间描述习题解答
