考研真题数学二(2000——2018)高数大题

数学二高数

（2018）（15）（本题满分10分）（一元函数积分学的计算）

求不定积分?e2xarctanex?1dx.

（2018）（16）（本题满分10分）

已知连续函数f(x)满足?f(t)dt??tf(x?t)dt?ax2

00xx（I）求f(x)；

（II）若f(x)在区间[0,1]上的平均值为1,求a的值.

（2018）（17）（本题满分10分）（二重积分）

?x?t?sint,设平面区域D由曲线?(0?t?2?)与x轴围成,计算二重积分??(x?2y)d?.?y?1?costD

（2018）（18）（本题满分10分）（一元函数微分学的应用，微分不等式）

已知常数k?ln2?1.证明：(x?1)(x?lnx?2klnx?1)?0. （2018）（19）（本题满分10分）（多元函数微分学，条件极值）

2将长为2m的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形.三个图形的面积之和是否存在最若存在，求出最小值.

（2018）（20）（本题满分11分）（一元函数微分学的应用）

已知曲

线

L:y?

42x(x?0),点O?0,0?,点A?0,1?.设P是L上的动点，S是直线OA与直线AP及曲线L9所围成图形的面积，若P运动到点?3,4?时沿x轴正向的速度是4，求此时S关于时间t的变化率.

（2018）（21）（本题满分11分）（数列存在性与计算）

设数列?xn?满足：x1?0,xnexn?1?exn?1(n?1,2,L),证明?xn?收敛，并求limxn.

n??

（2017）（15）（本题满分10分）

求lim?x?0?x0x?tetdtx3

（16）（本题满分10分）

dy设函数f?u,v?具有2阶连续偏导数，y?fe,cosx,求

dx?x?d2y,2dxx?0

x?0

（17）（本题满分10分）

求lim?kk?ln1???n???n2n?? k?1n

（18）（本题满分10分）

已知函数y(x)由方程x?y?3x?3y?2?0确定，求y(x)的极值 （19）（本题满分10分）

33lim设函数f(x)在?0,1?上具有2阶导数，f(1)?0,x?0?f(x)?0，证明 x（1）方程f(x)?0在区间(0,1)内至少存在一个实根；

（2）方程f(x)f??(x)?[f?(x)] 在区间(0,1)内至少存在两个不同的实根.

（20）（本题满分11分）

已知平面区域D?2??x,y?x2?y2?2y，计算二重积分???x?1?dxdy

2?D

（2017）（21）（本题满分11分）

设y(x)是区间(0,)内的可导函数，且y(1)?0，点P是曲线L:y?y(x)上的任意一点，L在点P处的切线与y轴相交于点(0,YP)，法线与x轴相交于点(XP,0)，若Xp?YP，求L上点的坐标(x,y)满足的方程。 （2016）（15）（本题满分10分） 求极限lim(cos2x?2xsinx). x?01x432 （2016）（16）（本题满分10分） 设函数f(x)? （2016）（17）（本题满分10分） 已知函数z?z(x,y)由方程(x?y)z?lnz?2(x?y?1)?0确定，求z?z(x,y)的极值. （2016）（18）（本题满分10分） 22?10t2?x2dt(x?0)，求f'(x)并求f(x)的最小值. x2?xy?y2设D是由直线y?1，y?x，y??x围成的有界区域，计算二重积分??dxdy. 22x?yD （2016）（19）（本题满分10分） xx已知y1(x)?e，y2(x)?u(x)e是二阶微分方程(2x?1)y?(2x?1)y'?2y?0的两个n解，若u(?1)?e，u(0)??1，求u(x)，并写出该微分方程的通解。 （2016）（20）（本题满分11分） 3????x?cost?设D是由曲线y?1?x(0?x?1)与?求D绕x0?t??围成的平面区域，3?2???y?sint?2轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积。 （2016）（21）（本题满分11分） 3?3?cosx的一个原函数，且f(0)?0。 ]上连续，在(0,)内是函数222x?3?3?（Ⅰ）求f(x)在区间[0,]上的平均值； 23?（Ⅱ）证明f(x)在区间(0,)内存在唯一零点。 2已知f(x)在[0,（2015）15、（本题满分10分） 设函数f(x)?x??ln(1?x)?bxsinx，g(x)?kx，若f(x)与g(x)在x?0时是等价无穷小，求a,b,k的值。 （2015）16、（本题满分10分） 设A?0，D是由曲线段y?Asinx(0?x?2?2)及直线y?o,x??2所形成的平面区域， V1，V2分别表示D绕x轴与绕y轴旋转所成旋转体的体积，若V1?V2，求A的值。