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高考数学中的内切球和外接球问题(附习题)

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高考数学中的内切球和外接球问题

一、 有关外接球的问题

如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上,那么称这个多面 体是球的内接多面体,这个球称为多面体的外接球 .有关多面体外接 球的问题,是立体几何的一个重点,也是高考考查的一个热点.考查 学生的空间想象能力以及化归能力?研究多面体的外接球问题,既要 运用多面体的知识,又要运用球的知识,并且还要特别注意多面体的 有关几何元素与球的半径之间的关系,而多面体外接球半径的求法在 解题中往往会起到至关重要的作用.

一、直接法(公式法)

1、求正方体的外接球的有关问题

例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面 积为 _________________ 27—

例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上,若该正方体的 表面积为,则该球的体积为 _________________ 3届.

24

2、求长方体的外接球的有关问题

例3一个长方体的各顶点均在同一球面上,且一个顶点上的三条 棱长分别为,,,则此球的表面积为 _________ . .

例4、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4, 体积为16,则这个球的表面积为(

A. 16兀

B. 20兀

C. 24兀

).C

D. 32兀

123

14

3?求多面体的外接球的有关问题

例5. 一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知 该六棱柱的顶点都在同一个球面上, 且该六棱柱的体积为 长为3,则这个球的体积为

8,底面周

解 设正六棱柱的底面边长为

6x =3, 9 8

3 2U 6 x h,

4

1 x ,

2_ h = . 3.

x,咼为

h

,则有

二正六棱柱的底面圆的半径 接球的半径R^-:r d .体积:

2

21

r = 2 ,球心到底面的距离

V

小结本题是运用公式R2

的半径的常用公式.

二、构造法(补形法) 1、构造正方体

4兀

R3. 3

3

d2求球的半径的,该公式是求球

例5若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长均为 ' ,则其外 接球的表面积是 __________________ 护.

例3若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为 ,则其外 接球的表面积是 ________ .

2

3

3

故其外接球的表面积S=4「:R =9二.

小结:一般地,若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直,且其长度分 别为a、b、c,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体, 于是长方体的 体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径?设其外接球的半径为R ,

则有 2R 二、?. a2 b2 c2 .

出现“墙角”结构利用补形知识,联系长方体。

【原理】:长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为;,则 体对角线长为I —,a2 b2 c2,几何体的外接球直径为2R体对角线长I 即 R 二 V2 b2 c2

2

1

练习:在四面体4'一中,共顶点的三条棱两两垂直,其长度分 别为1, .6,3,若该四面体的四个顶点在一个球面上,求这个球的表面 积。球的表面积为S=4「:R2=16「:

例6 一个四面体的所有棱长都为.2,四个顶点 在同一球面上,则此球的表面积为(

A. 3 二 A.(如图2)

D. 6兀

B. 4二

C. 343 例7在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,DAB=60 0,E为AB的中 点,将■ ADE与BEC分布沿ED、EC向上折起,使A、B重合于点P, 则三棱锥P-DCE的外接球的体积为().

4 ;3

6

--

--- n

—JI

■■- 6

解析:(如图3) 因为 AE=EB=DC=1,厶 DAB二 NCBE二 ZDEA=60

0

, 所以

AD二AE=EB=BC=DC=DE=CE=1,即三棱锥P-DCE为正四面体,至此, 例

B. 2

C.

8

D.

24

8 (2已知球O的面上四点A、B、C、D, DA 一平面ABC , AB_ BC,

这与例6就完全相同了,故选C.

高考数学中的内切球和外接球问题(附习题)

高考数学中的内切球和外接球问题一、有关外接球的问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上,那么称这个多面体是球的内接多面体,这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题,是立体几何的一个重点,也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力?研究多面体的外接球问题,既要运用多面体的知识,又要运用球的知识,并且还要特别注意多面体的有
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