高考数学中的内切球和外接球问题
一、 有关外接球的问题
如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上,那么称这个多面 体是球的内接多面体,这个球称为多面体的外接球 .有关多面体外接 球的问题,是立体几何的一个重点,也是高考考查的一个热点.考查 学生的空间想象能力以及化归能力?研究多面体的外接球问题,既要 运用多面体的知识,又要运用球的知识,并且还要特别注意多面体的 有关几何元素与球的半径之间的关系,而多面体外接球半径的求法在 解题中往往会起到至关重要的作用.
一、直接法(公式法)
1、求正方体的外接球的有关问题
例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面 积为 _________________ 27—
例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上,若该正方体的 表面积为,则该球的体积为 _________________ 3届.
24
2、求长方体的外接球的有关问题
例3一个长方体的各顶点均在同一球面上,且一个顶点上的三条 棱长分别为,,,则此球的表面积为 _________ . .
例4、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4, 体积为16,则这个球的表面积为(
A. 16兀
B. 20兀
C. 24兀
).C
D. 32兀
123
14
3?求多面体的外接球的有关问题
例5. 一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知 该六棱柱的顶点都在同一个球面上, 且该六棱柱的体积为 长为3,则这个球的体积为
8,底面周
解 设正六棱柱的底面边长为
6x =3, 9 8
3 2U 6 x h,
4
1 x ,
2_ h = . 3.
x,咼为
h
,则有
二正六棱柱的底面圆的半径 接球的半径R^-:r d .体积:
2
21
r = 2 ,球心到底面的距离
V
小结本题是运用公式R2
的半径的常用公式.
二、构造法(补形法) 1、构造正方体
4兀
R3. 3
3
d2求球的半径的,该公式是求球
例5若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长均为 ' ,则其外 接球的表面积是 __________________ 护.
例3若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为 ,则其外 接球的表面积是 ________ .
2
3
3
故其外接球的表面积S=4「:R =9二.
小结:一般地,若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直,且其长度分 别为a、b、c,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体, 于是长方体的 体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径?设其外接球的半径为R ,
则有 2R 二、?. a2 b2 c2 .
出现“墙角”结构利用补形知识,联系长方体。
【原理】:长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为;,则 体对角线长为I —,a2 b2 c2,几何体的外接球直径为2R体对角线长I 即 R 二 V2 b2 c2
2
1
练习:在四面体4'一中,共顶点的三条棱两两垂直,其长度分 别为1, .6,3,若该四面体的四个顶点在一个球面上,求这个球的表面 积。球的表面积为S=4「:R2=16「:
例6 一个四面体的所有棱长都为.2,四个顶点 在同一球面上,则此球的表面积为(
A. 3 二 A.(如图2)
)
D. 6兀
B. 4二
C. 343 例7在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,DAB=60 0,E为AB的中 点,将■ ADE与BEC分布沿ED、EC向上折起,使A、B重合于点P, 则三棱锥P-DCE的外接球的体积为().
4 ;3
6
--
--- n
—JI
■■- 6
兀
解析:(如图3) 因为 AE=EB=DC=1,厶 DAB二 NCBE二 ZDEA=60
0
, 所以
AD二AE=EB=BC=DC=DE=CE=1,即三棱锥P-DCE为正四面体,至此, 例
B. 2
C.
8
D.
24
8 (2已知球O的面上四点A、B、C、D, DA 一平面ABC , AB_ BC,
这与例6就完全相同了,故选C.
高考数学中的内切球和外接球问题(附习题)
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