高一年级期中统一练习
数 学
2019.04
学校 班级 姓名 成绩
一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）sin30?cos15??cos30?sin15?等于 ( )
（A）
21 （B） （C）cos15? （D）sin15?
22（2）已知正四棱锥的底面边长为2，高为3，则它的体积为 （ ）
（A）2 （B）4 （C）6
（D）12
（3） 在△ABC中，a?1，c?2，?A?30，则?C等于 ( )
（A）45 （B）60 （C）90 （D）120
（4）已知直线m和平面?,?，则下列四个命题中正确的是 （ ）
（A）若???，m??，则m?? （B）若m（C）若?（D）若??，m?，则??
?，m?，则m?
?，m??，则m??
（5）如图，正方体ABCD?A1B1C1D1被平面ACB1和平面ACD1分别截去三棱锥B?ACB1和三棱锥D?ACD1后，得到一个n面体，则这个n面体的左视图和
BACDn值为 （ ）
B1A1C1D11
x=6x=6x=7x=7（A. B. C. D.A）6 （B）6 （C）7 （D）7
（6）已知0????,??(,π)，sin??π214，sin??，则cos(???)等于（ ） 25 （C）（A）4?334?33 （B） 1010?4?3333?4 （D） 1010（7）已知球O的半径为1，A,B是该球面上的两点，且线段AB?1，点P是该球面上的一个动点（不与A,B重合），则?APB的最小值与最大值分别是 （ ）
（A）
πππ5ππ3ππ2π, （B） , （C） , （D） , 42664433（8）由等边三角形组成的网格如图所示，多边形ABCDEFGHIJ是某几何体的表面展开图，
对于该几何体（顶点的字母用展开图相应字母表示，对于重合的两点，取字母表中靠前的字母表示），下列结论中正确的是 （ ）
（A）BJ?平面ADJ （B）平面BCJ平面EAD
ABJIDCHEGF（C）平面ECB?平面EAD （D）BE?AJ
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上. （9）已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则其侧面积为 . （10）在△ABC中，sinB?sinC,a?3c，则?B=______.
（11）已知正方形ABCD的边长为1，将△ADC沿对角线AC折起，若折叠后平面ACD⊥平
面ACB，则此时点B,D之间的距离是 . （12）已知?,??(0,)，tan??π211,tan??，则???= . 32（13）在△ABC中，c?4，?B?30?，请给出一个b的值，使得此三角形有两解，则b2
的一个值是 .
（14）如图所示，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，
D1C1B1EBB，点E是棱CC1上的一个动点，若平面BED1交1?B1D1棱AA1于点F，给出下列命题：. ① 四棱锥B1?BED1F的体积恒为定值； ②存在点E，使得B1D?平面BD1E；
③存在唯一的点E，使得截面四边形BED1F的周长取得最小值；
④存在无数个点E，在棱AD上均有相应的点G，使得CGA1DABC平面EBD1，也存在无数个点
E，对棱AD上任意的点G， 直线CG与平面EBD1均相交.
其中真命题的是_____ ___．（填出所有正确答案的序号）
三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题共11分）
已知f(x)?2cosx(sinx?3cosx)?3. （Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间; （Ⅱ）求函数f(x)在区间[0,]上的取值范围.
(16)（本小题共11分）
在△ABC中，点D是BC边上一点，AD?2 ,AC?（Ⅰ）求cosC的值； （Ⅱ）若△ABD的面积为
3
π27 ,?ADC?60?.
3，求sin?BAC的值. 2(17)（本小题共12分）
已知四棱锥P?ABCD的底面ABCD是菱形. （Ⅰ）求证：AD//平面PBC；
（Ⅱ）若PB?PD， 求证：BD?平面PAC； （Ⅲ）（下面两问任选一问作答，第（1）问满分4分，第（2）问满分5分） ①E,F分别是AB,PP上D的点，若
DABCPFEF//平面PBC,AE?2EB，求的值.
PD②若?DAB?60?，平面PAD?平面ABCD ，
PB?PD ，判断△PAD是否为等腰三角形？并说明理由.
(18)（本小题共10分）
已知非常数函数f(x)的定义域为R，如果存在正数T，使得?x?R，都有恒成立，则称函数f(x)具有性质T. f(x?T)?Tf(x)（Ⅰ）判断下列函数是否具有性质T ？并说明理由;
① f1(x)?2x?1；②f2(x)?cos(2πx?1).
（Ⅱ）若函数f(x)?sin(?x??)(??0)具有性质T，求?的最小值; （Ⅲ）设函数g(x)具有性质证：g(x)是周期函数.
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T，且存在M?0，使得?x?R，都有g(x)?M成立，求
附加题：（本题满分5分。所得分数可计入总分，但整份试卷得分不超过100分） 设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为
1?其中Qi（i?1,2,平面Q2PQ3,
1??Q1PQ2??Q2PQ3?2π??Qk?1PQk??QkPQ1?，
,k，k?3）为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面Q1PQ2,
,平面Qk?1PQk和平面QkPQ1遍历多面体M的所有以P为公共点的面.
（Ⅰ）任取正四面体的一个顶点，该点处的离散曲率为______； （Ⅱ）如图1，已知长方体A1B1C1D1?ABCD，AB?BC?1，AA1?2，点P为2底面A1B1C1D1内的一个动点，则四棱锥P?ABCD在点P处的离散曲率的最小值为______；
D1A1DPB1C1CβαAB
图1 图2 （Ⅲ）图2为对某个女孩面部识别过程中的三角剖分结果，所谓三角剖分，就是先在面部取若干采样点，然后用短小的直线段连接相邻三个采样点形成三角形网格.区域?和区域） ?中点的离散曲率的平均值更大的是_______.（填写“区域?”或“区域?”
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2019年北京海淀区高一第二学期期中考试数学试题及答案
