图2
(1)求椭圆和双曲线的标准方程；
(2)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，求证：k1k2＝1. 【解】 (1)设椭圆的半焦距为c，由题意知，＝22，c＝2.
又a＝b＋c，因此b＝2.故椭圆的标准方程为＋＝1.
84
2
2
2
ca2
，2a＋2c＝4(2＋1)，所以a＝2
x2y2
x2y2
由题意设等轴双曲线的标准方程为2－2＝1(m＞0)，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦
mm点，所以m＝2，因此双曲线的标准方程为－＝1.
44
(2)证明：设P(x0，y0)，则k1＝2
2
x2y2
，k2＝. x0＋2x0－2
y0y0
因为点P在双曲线x－y＝4上， 所以x0－y0＝4. 因此k1k2＝
2
2
y0
x0＋2x0－2x20－4
·y0
＝y20
＝1，即k1k2＝1.
2
2
1xy19.(本小题满分16分)已知直线y＝－x＋2和椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)相交于A，B两
2ab1
点，M为AB的中点，若AB＝25，直线OM的斜率为(O为坐标原点)，求椭圆的方程.
2
1
y＝－x＋2，??2
【解】 由?xy??a＋b＝1，
2
222
消去y，整理得(a＋4b)x－8ax＋16a－4ab＝0.
2222222
8a16a－4ab设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由根与系数的关系，得x1＋x2＝2. 2，x1x2＝a＋4ba2＋4b2又设AB的中点M(xM，yM)，则xM＝
2222
x1＋x2
24a18b＝2. 2，yM＝－xM＋2＝2
a＋4b2a＋4b2
22
2
yM12b122
∵直线OM的斜率kOM＝＝，∴2＝，∴a＝4b，
xM2a2
8a16a－4ab2
从而x1＋x2＝2＝8－2b. 2＝4，x1x2＝22
a＋4ba＋4b
7
2222
又∵AB＝25，∴ 25，
11＋·4
x1＋x2
2
－4x1x2＝25，即
5
×16－48－2b2
2
＝
解得b＝4，∴a＝4b＝16，故所求椭圆的方程为＋＝1.
164
222
x2y2
x2y2
20.(本小题满分16分)(2016·盐城高二检测)设椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分
ab别为F1，F2，右顶点
为A，上顶点为B.已知AB＝(1)求椭圆的离心率.
(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过点F2的直线l与该圆相切于点M，MF2＝22.求椭圆的方程.
【解】 (1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0)，由AB＝
3
F1F2，可得a2＋b2＝3c2， 2
3
F1F2. 2
c212
又b＝a－c，则2＝.所以椭圆的离心率e＝.
a22
2
2
2
x2y2
(2)由(1)知a＝2c，b＝c，故椭圆方程为2＋2＝1.
2cc2
2
2
2
→
→
→
→
设P(x0，y0)，由F1(－c,0)，B(0，c)，有F1P＝(x0＋c，y0)，F1B＝(c，c)， 由已知，有F1P·F1B＝0，即(x0＋c)c＋y0c＝0. 又c≠0，故有x0＋y0＋c＝0.①
x2y200
因为点P在椭圆上，故2＋2＝1.②
2cc4cc2
由①和②可得3x0＋4cx0＝0，而点P不是椭圆的顶点，故x0＝－，代入①得y0＝，
334cc－＋0＋c334cc?22?即点P的坐标为? －，?.设圆的圆心为T(x1，y1)，则x1＝＝－c，y1＝＝c，
33?2323?
进而圆的半径r＝22，
52xy?2c?2?2c?22
故有?c＋?＋?0－?＝8＋c.解得c＝3.所以所求椭圆的方程为＋＝1.
3??3?963?
7
2
2
x1－0
2
＋y1－c2
＝
522c.由已知，有TF22＝MF2＋r，又MF2＝3
2016-2017学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程章末综
