章末综合测评(二) 圆锥曲线与方程
(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在题中横线上.) 1.双曲线－＝1的两条渐近线的方程为________.
169
3
【解析】 由双曲线方程可知a＝4，b＝3，所以两条渐近线方程为y＝±x.
43
【答案】 y＝±x
4
x2y2
y2
2.(2015·上海高考)已知(2,0)是双曲线x－2＝1(b＞0)的一个焦点，则b＝________.
b2
【解析】 由题意知c＝2，a＝1，b＝c－a＝3，所以b＝3. 【答案】
3
222
3.若方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围为________.
5－kk－35－k＞0，??
【解析】 由题意可知?k－3＞0，
??5－k≠k－3，【答案】 (3,4)∪(4,5)
4.以y＝3为准线的抛物线的标准方程为________.
【解析】 设抛物线的标准方程为x＝2py(p＞0)，则－＝3，p＝－6，则抛物线方程
2为x＝－12y.
【答案】 x＝－12y
5.(2015·上海高考)抛物线y＝2px(p＞0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p＝________.
【解析】 依题意，点Q为坐标原点，所以＝1，即p＝2.
2【答案】 2
6.椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若PF1＝4，则PF2＝______，∠F1PF2
92的大小为______.
【解析】 由椭圆的定义知PF1＋PF2＝2a＝2×3＝6，因为PF1＝4，所以PF2＝2.在△PF1F2
222
PF1＋PF2－F1F21
中，cos∠F1PF2＝＝－，∴∠F1PF2＝120°.
2PF1PF22
2
2
2
2
x2y2
解得3＜k＜5且k≠4.
ppx2y2
【答案】 2 120°
7
7.已知A(0，－1)、B(0,1)两点，△ABC的周长为6，则△ABC的顶点C的轨迹方程是________.
【解析】 ∵2c＝AB＝2，∴c＝1，∴CA＋CB＝6－2＝4＝2a，∴顶点C的轨迹是以A、
B为焦点的椭圆(A、B、C不共线).因此，顶点C的轨迹方程＋＝1(y≠±2).
4
3
【答案】
y2x2
y2x2
4
＋＝1(y≠±2) 3
x2y2
8.(2015·天津高考改编)已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点为F(2,0)，且
ab双曲线的渐近线与圆(x－2)＋y＝3相切，则双曲线的方程为________.
【导学号：24830061】
【解析】 由双曲线的渐近线bx－ay＝0与圆(x－2)＋y＝3相切得由c＝a＋b＝2，解得a＝1，b＝3. 【答案】 x－＝1
3
9.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F1(－5，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1
的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是________.
【解析】 ∵F1(－5，0)，PF1的中点坐标为(0,2)，∴P的坐标为(5，4). 又∵双曲线的一个焦点为F1(－5，0)，∴另一个焦点为F2(5，0). ∴2a＝|PF1－PF2|＝
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2ba2＋b2
＝3，
y2
5＋5
2
＋16－5－5
2
2
＋4＝2.∴a＝1.
2
又∵c＝5，∴b＝c－a＝4.∴双曲线方程为x－＝1.
4【答案】 x－＝1
4
12
10.已知抛物线C：x＝y，过点A(0，－1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点，
2则实数t的取值范围是________.
42
【解析】 显然t≠0，直线AB的方程为y＝x－1，代入抛物线方程得2tx－4x＋t＝
2
y2
y2
t0.
由题意Δ＝16－8t<0，解得t<－2或t>2. 【答案】 (－∞，－2)∪(2，＋∞)
11.若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则
43
2
x2y2
7
→→
OP·FP的最大值为________.
【解析】 椭圆的左焦点F为(－1,0)，设P(x，y)， →
→11
OP·FP＝(x，y)·(x＋1，y)＝x(x＋1)＋y2＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2
44→→
∵－2≤x≤2，∴当x＝2时，OP·FP有最大值6. 【答案】 6
12.一动圆与两圆：x＋y＝1和x＋y－6x＋5＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为________.
【解析】 x＋y＝1是以原点为圆心，半径为1的圆，x＋y－6x＋5＝0化为标准方程为(x－3)＋y＝4，是圆心为A(3,0)，半径为2的圆.设所求动圆圆心为P，动圆半径为r，如图，则
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
PO＝r＋1??
?PA＝r＋2?
??PA－PO＝1＜AO＝3，
符合双曲线的定义，结合图形可知，动圆圆心的轨迹为双曲线的一支. 【答案】 双曲线的一支
x2y2
13.(2015·山东高考)过双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平
aa行的直线，交C于点P，若点P的横坐标为2a，则C的离心率为________.
【解析】 先表示出直线的方程和点P的坐标，再将点P的坐标代入直线的方程可得关于a，b，c的方程，化简可以求出离心率.如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为，又直线l过右焦点F(c,0)，则直线l的方程为y＝(x－c).因为点P的横坐标为2a，4ay代入双曲线方程得2－2＝1，化简得y＝－3b或y＝3b(点P在x轴下方，故舍去)，故
2
2
babaab点P的坐标为(2a，－3b)，代入直线方程得－3b＝(2a－c)，化简可得离心率e＝＝2＋3.
baca 7
【答案】 2＋3
14.已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若FA＝2FB，则k＝________.
【解析】 过A、B作抛物线准线l的垂线，垂足分别为A1、B1，
2
由抛物线定义可知，AA1＝AF，BB1＝BF，又∵2FB＝FA，∴AA1＝2BB1，即B为AC的中点.
??y＝kx＋2从而yA＝2yB，联立方程组?2
?y＝8x，?
，
82
?消去x得y－y＋16＝0，
k8??yA＋yB＝，k∴?
??yA·yB＝16【答案】
8??3yB＝，
k????2y2B＝16，
22
，消去yB得k＝.
3
22
3
二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
x2y215.(本小题满分14分)已知抛物线C1的顶点在坐标原点，它的焦点为双曲线C2：2－2
ab?226?
＝1(a>0，b>0)的一个焦点F，若抛物线C1与双曲线C2的一个交点是M?，?.
?33?
(1)求抛物线C1的方程及其焦点F的坐标； (2)求双曲线C2的方程及离心率e.
?226?2
【解】 设抛物线C1的方程为y＝2px(p＞0)，因为图象过点M?，?，
?33?
则有?
2?26?22
?＝2p×3，所以p＝2，则抛物线C1的方程为y＝4x，焦点F的坐标为(1,0). ?3?
?226?
(2)由双曲线C2过点M?，?以及焦点为(1,0)和(－1,0)，由双曲线的定义可知
?33?
2a＝?2＋1?2＋?26?2－?3??????3??2－1?2＋?26?2＝2，所以a＝1，b2＝8 ，
?3???39???3?3
7
922
所以双曲线C2的方程为9x－y＝1，离心率e＝3.
8
16.(本小题满分14分)椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为213.一双曲线和该椭圆有公共焦点，且双曲线的半实轴长比椭圆的半长轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7∶3，求椭圆和双曲线的方程.
x2y2
【解】 ①焦点在x轴上，椭圆为2＋2＝1(a>b>0)，且c＝13.
abx2y2e双7a7
设双曲线为2－2 ＝1(m>0，n>0)，m＝a－4.因为＝，所以＝，解得a＝7，m＝3.
mne椭3m3
因为椭圆和双曲线的焦半距为13，所以b＝36，n＝4. 所以椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.
493694
②焦点在y轴上，椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.
364994
17.(本小题满分14分)如图1所示，已知斜率为1的直线l过椭圆＋y＝1的右焦点F，
4交椭圆于A、B两点，求弦AB的长.
2
2
x2y2x2y2
x2y2y2x2
x2
2
图1
【解】 设A、B两点的坐标分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)，由椭圆方程知a＝4，b＝1，c＝3，所以F(3，0)，直线l的方程为y＝x－3.将其代入x＋4y＝4，化简整理，8382
得5x－83x＋8＝0.所以x1＋x2＝，x1x2＝.
55
所以×
83
2
2
2
2
2
2
AB＝1＋k2
|x1－x2| ＝1＋k2
·x1＋x2
2
－4x1x2＝2
－4×5×88
＝.
55
x2y22
18.(本小题满分16分)如图2，已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，以该椭圆
ab2
上的点和椭圆的左、右焦点F1、F2为顶点的三角形的周长为4(2＋1)，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D.
7
2016-2017学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程章末综
