第三讲 因式分解的应用
趣题引路】
222233?111123考考你：等于多少？ 3322223?11111a3?b3想一想立方和公式，设a＝22223，b＝11112，a－b＝11111，故原式＝3
a?(a?b)3(a?b)(a2?ab?b2)a?b22223?1111233335＝＝＝＝．这是因式分解的魔力！想知道因式分解在
2a?b44446?1111233334(2a?b)(a2?ab?b2)哪些方面有用吗？怎样用好这个工具？本讲将告诉你答案．
知识拓展】
因式分解是代数变形的重要工具．它在数值计算、代数式的化简、恒等式的证明、不定方程、几何证明等方面都有广泛应用．下面举例说明． 一、利用因式分解化简求值
例1 若a是方程x2－3x＋1＝0的一个根，试求2a5－5a4＋2a3－8a2＋3a的值．
解析 依题意有a2－3a＋1＝0，设法弄清所求代数式与a2－3a＋1的联系，通过分解可使原式变成包含a2－3a＋1的代数式．
解：∵a是x2－3x＋1＝0的根， ∴a2－3a＋1＝0．
原式＝2a3(a2－3a＋1)＋a4－8a2＋3a
＝2a3(a2－3a＋1)＋a2(a2－3a＋1)＋3a(a2－3a＋1) ＝0．
点评：本题也可将a2－3a＝－1反复代入原式化简求之．
20002?199819972?1997例2 化简： ·．
19982?20001998?2001?4解析 式子中出现1997，1998，2000，2001，如设其中一个为x，则其余三个均用含x的式子表示，从而将问题转化为含x的代数式化简问题． 解：设1998＝x，则
(x2?5x?4)(x2?3x?2)(x?1)(x?4)(x?1)(x?2)原式＝2＝＝1．
(x?1)(x?2)(x?1)(x?4)(x?x?2)(x2?3x?4)点评：这是一种换元的思想．换元时通常取几个数(或式)的算术平均数较为简单．
二、利用因式分解证明等式(不等式) ()
例3 设a，b，c，d满足a≤b，c≤d，a＋b＝c＋d≠0，a3＋b3＝c3＋d3，求证；a＝c，b＝d． 解析 由a3＋b3＝c3＋d3使人想起立方和公式，展开后两边约去a＋b和c＋d，问题简化． 证明：由a3＋b3＝c3＋d3得
(a＋b)(a2－ab＋b2)＝(c＋d)(c2－cd＋d2)． 由于a＋b＝c＋d≠0， 故a2－ab＋b2＝c2－cd＋d2． 配方(a＋b)2－3ab＝(c＋d)2－3cd． 从而ab＝cd．
于是(a2－ab＋b2)－ab＝(c2－cd＋d2)－cd． 即(a－b)2＝(c－d)2． 而a≤b，c≤d，
故b－a＝d－c，与已知式a＋b＝c＋d比较得b＝d，a＝c．
例4 设a、b、c是三角形三条边，求证：a2－b2－c2－2bc＜0．
解析 利用因式分解将所证不等式左边进行变形从而得到三边的易判断的关系． 证明：∵a2－b2－c2－2bc＝a2－(b＋c)2＝(a＋b＋c)(a－b－c)． ∴需证(a＋b＋c)(a－b－c)＜0． 又∵a，b，c是三角形三条边，
∴a＋b＋c＞0，a＜b＋c．∴(a＋b＋c)(a－b－c)＜0，原式得证．
三、利用因式分解解方程(组)
??x?xy?y?2?32例5 (2001年北京初二竞赛试题)已知实数x，y满足方程组?，则：|x＋y＋1|
22??x?y?6＝ ．
解析 方程中出现x＋y，xy，x2＋y2，使人想到完全平方公式，将x＋y看作整体处理，消去xy，分解因式得x＋y．通常：若ab＝0，则a＝0或b＝0．
解：由x2＋y2＝6得(x＋y)2＝6＋2xy． ① 由x＋xy＋y＝2＋32得xy＝2＋32－(x＋y)． ② 将②代人①得(x＋y)2＋2(x＋y)－(10＋62)＝0． 即(x＋y)2＋2(x＋y)－(4＋2)(2＋2)＝0． 故(x＋y＋4＋2)(x＋y－2－2)＝0． ∴x＋y＝－4－2或x＋y＝2＋2 ()
∴|x＋y＋1|＝3＋2．
点评：10＋62＝8＋62＋2＝(4＋2)(2＋2)很关键．
例6 (上海竞赛题)求方程6xy＋4x－9y－7＝0的整数解．
解析 利用整数性质，将方程左边化成两个因式的乘积再分情况讨论． 解：方程可化为 2x(3y＋2)－3(3y＋2)－1＝0， (2x－3)(3y＋2)＝1．
?2x?3?1?2x?3??1∴?或?．
3y?2?13y?2??1??解得x＝1，y＝－1．
四、利用因式分解研究整除问题
例7 (1999年全国联赛试题)某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男生和n个女生的捐款总数相等，都是(mn＋9m＋11n＋145)元，已知每人的捐款数相
同，且都是整数，求每人的捐款数.
解析 涉及整数问题常常要对已知式进行因式分解. 解 依题意mn＋9m＋11n＋145＝(m＋11)(n＋9)＋46 可知：(m＋11)整除(mn＋9m＋11n＋145)， (n＋9)整除(mn＋9m＋11n＋145)且m＋11＝n＋9， 故 m＋11和n＋9均整除46， 而46＝46×1＝23×2.
所以，m＋11＝n＋9＝46或m＋11＝n＋9＝23 由此可得每人捐款数为47元或25元. 好题妙解】
佳题新题品味
例1 (江苏第17届初二竞赛试题)已知a，b，c是正整数，a>b，且a2－ab－ac＋bc＝7，则a－c等于( )
A.－1 B.－1或－7 C.1 D.1或7
解析 将已知等式分解为(a－b)(a－c)＝7，因a>b，故a－b和a－c均为正整数，因而a－c等于1或7，选D.
例2 (2003年太原市竞赛试题)已知m2＋2mn＝384，3mn＋2n2＝560.则2m2＋13mn＋6n2－444的值是 ()
( )
A.2001 B.2002 C.2003 D.2004
解析 采用局部分解：2m2＋13mn＋6n2－444＝2(m2＋2mn)＋3(3mn＋2n2)－444＝2×384＋3×560－444＝2004，选D.
例3 计算20052－20042＋20032－20022＋…＋32－22＝ .
解析 反复运用平方差公式展开得(2005＋2004)×1＋(2003＋2002)×1＋…＋(3＋2)×1＝
(2005?2)?2004?2011014.
2
例4 (2002年黄冈题)观察：1×2×3×4＋1＝52 2×3×4×5＋1＝112 3×4×5×6＋1＝192 …
(1)请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；
(2)根据(1)，计算2000×2001×2002×2003＋1的结果(用一个最简式子表示).
解析 注意到给定式子均为四个连续整数之积，右边为完全平方数，且5＝1×4＋1，11＝2×5＋1，19＝3×6＋1…恰好是第一和第四个整数之积加1，第n个式子应为n(n＋3)＋1.
解 (1)对于自然数n，有n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＋1＝(n2＋3n)(n2＋3n＋2)＋1＝(n2＋3n)2＋2(n2＋3n)＋1＝(n2＋3n＋1)2.
(2)由(1)得
2000×2001×2002×2003＋1＝(20002＋3×2000＋1)2＝40060012
中考真题欣赏
例1 (北京)观察下列顺序排列的等式： 9×0＋1＝1 9×1＋2＝11 9×2＋3＝21 9×3＋4＝31 9×4＋5＝41 …
猜想第n个等式(n为正整数)应为 .
解析 注意第n个式子与式子中数字间的关联.9不变，第二个数比n小1，第三个数等于n，第四个数为10(n－1)＋1，故第n个式子为：9(n－1)＋n＝10n－9.
()
?4?5?20,例2 (2003年北京崇文区)观察下列每组算式，并根据你发现的规律填空：??3?6?18, ?5?6?30,??4?7?28,
?6?7?42,??5?8?40.
已知122×123＝15006，则121×124＝ .
解析 15004，注意到121×124与122×123仅有末位数字不同，因而结果仅末位不同
竞赛样题展示
例1 (奥林匹克训练题)适合(y－2)x2＋yx＋2＝0的非负整数对(x、y)的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4
解析 由题设得y(x2＋x)－2(x2－1)＝0，即(x＋1)[yx－2(x－1)]＝0 因为x≥0，故有yx＝2(x－1)，显然x?0，所以x>0，y?解，选B.
例2 (2003年全国初中联赛试题)满足等式xy?xy?2003x?2003y?2003xy＝2003的正整数对(x，y)的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析 由xy?xy?2003x?2003y?2003xy－2003＝0可得 (xy?2003)(x?y?2003)?0.
2(x?1)2?2?，于是x＝1或2，即只有两组xx而x?y?2003?0，所以xy?2003?0.故xy＝2003.又因为2003为质数，因此必有
?x?1?x?2003或故选B. ??y?2003y?1??
例3 (希望杯竞赛题)已知n是正整数，且n4－16n2＋100是质数，求n的值. 解析 利用质数的因数只有1和本身，将已知式分解因式讨论求解.
解 n4－16n2＋100＝n4＋20n2＋100－36n2＝(n2＋10)2－36n2＝(n2＋6n＋10)(n2－6n＋10). 因n2＋6n＋10?1，而n4－16n2＋100为质数且n为正整数. 故n2－6n＋10＝1，即(n－3)2＝0，得n＝3. ()
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第三讲 因式分解的应用(含答案)
