高考数学(理)热点题型:三角函数与解三角形
热点一 三角函数的图象和性质
注意对基本三角函数y=sin x,y=cos x的图象与性质的理解与记忆,有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解,通常先将给出的函数转化为y=Asin(ωx+φ)的形式,然后利用整体代换的方法求解. x
【例1】已知函数f(x)=sin x-23sin2.
2(1)求f(x)的最小正周期;
2π??
(2)求f(x)在区间?0,?上的最小值.
3??(1)解 因为f(x)=sin x+3cos x-3. ?π?
=2sin?x+?-3.
3??
所以f(x)的最小正周期为2π. 2π
(2)解 因为0≤x≤3, ππ
所以3≤x+3≤π.
π2π
当x+3=π,即x=3时,f(x)取得最小值.
2π???2π?
所以f(x)在区间?0,?上的最小值为f??=-3.
3???3?【类题通法】求函数y=Asin(ωx+φ)+B周期与最值的模板
第一步:三角函数式的化简,一般化成y=Asin(ωx+φ)+h或y=Acos(ωx+φ)+h的形式; 2π
第二步:由T=求最小正周期;
|ω|第三步:确定f(x)的单调性;
第四步:确定各单调区间端点处的函数值; 第五步:明确规范地表达结论.
3
【对点训练】 设函数f(x)=2-3sin2ωx-sin ωxcos ωx(ω>0),且y=f(x)的图象的π
一个对称中心到最近的对称轴的距离为4. (1)求ω的值;
3π??
(2)求f(x)在区间?π,?上的最大值和最小值.
2??3
解 (1)f(x)=2-3sin2ωx-sin ωxcos ωx 1-cos 2ωx13
=2-3·-2sin 2ωx
2π?31?
=2cos 2ωx-2sin 2ωx=-sin?2ωx-?.
3??
π
因为y=f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为,故该函数的周期T=
4π
4×4=π.
2π
又ω>0,所以=π,因此ω=1.
2ωπ??
(2)由(1)知f(x)=-sin?2x-?.
3??
π
设t=2x-3,则函数f(x)可转化为y=-sin t. 3π5ππ8π
当π≤x≤2时,3≤t=2x-3≤ 3,
?5π8π?
如图所示,作出函数y=sin t在?,3? 上的图象,
?3?
??5π8π?3???由图象可知,当t∈?时,sin t∈,3-,1?,
?3??2?
π?33???故-1≤-sin t≤2,因此-1≤f(x)=-sin2x-≤2. 3??3π?3?
故f(x)在区间?π,?上的最大值和最小值分别为2,-1.
2??热点二 解三角形
高考对解三角形的考查,以正弦定理、余弦定理的综合运用为主.其命题规律可以从以下两方面看:(1)从内容上看,主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式,一般是以三角形或其他平面图形为背景,结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力;(2)从命题角度看,主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理,在知识的交汇处命题.
cos Acos Bsin C
【例2】在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a+b=c. (1)证明:sin Asin B=sin C; 6
(2)若b2+c2-a2=5bc,求tan B. (1)证明 在△ABC中,根据正弦定理, abc
可设sin A=sin B=sin C=k(k>0). 则a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C. 代入
cos Acos Bsin C
+=中, abc
cos Acos Bsin C
有ksin A+ksin B=ksin C,变形可得
sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B). 在△ABC中,由A+B+C=π, 有sin(A+B)=sin(π-C)=sin C, 所以sin Asin B=sin C.
6
(2)解 由已知,b2+c2-a2=5bc,根据余弦定理,有
b2+c2-a23
cos A=2bc=5. 4所以sin A=1-cos2A=5.
由(1)知,sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B, 443
所以5sin B=5cos B+5sin B, sin B
故tan B=cos B=4.
【类题通法】(1)①在等式中既有边长又有角的正余弦时,往往先联想正弦定理;②出现含有边长的平方及两边之积的等式,往往想到应用余弦定理. (2)正余弦定理与两角和(差)角公式的活用是求解该类问题的关键.
【对点训练】 四边形ABCD的内角A与C互补,且AB=1,BC=3,CD=DA=2. (1)求角C的大小和线段BD的长度; (2)求四边形ABCD的面积. 解 (1)设BD=x,
1+4-x2
在△ABD中,由余弦定理,得cos A=,
2×2×19+4-x2
在△BCD中,由余弦定理,得cos C=, 2×2×3∵A+C=π,∴cos A+cos C=0. 1
联立上式,解得x=7,cos C=2. π
由于C∈(0,π).∴C=3,BD=7. π3
(2)∵A+C=π,C=3,∴sin A=sin C=2. 又四边形ABCD的面积SABCD=S△ABD+S△BCD 113
=2AB·ADsin A+2CB·CDsin C=2×(1+3)=23, ∴四边形ABCD的面积为23.
热点三 三角函数与平面向量结合
三角函数、解三角形与平面向量的结合主要体现在以下两个方面:(1)以三角函数式作为向量的坐标,由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式;(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形,然后利用正、余弦定理解决问题. 【例3】已知△ABC的三内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,向量m=(cos B,cos C),n=(2a+c,b),且m⊥n. (1)求角B的大小; (2)若b=3,求a+c的范围.
解 (1)∵m=(cos B,cos C),n=(2a+c,b),且m⊥n, ∴(2a+c)cos B+bcos C=0,
∴cos B(2sin A+sin C)+sin Bcos C=0, ∴2cos Bsin A+cos Bsin C+sin Bcos C=0. 即2cos Bsin A=-sin(B+C)=-sin A. 1∵A∈(0,π),∴sin A≠0,∴cos B=-2. 2π
∵0<B<π,∴B=3. (2)由余弦定理得
2?a+c?232222
?=(a+c)2,当且仅b=a+c-2accos3π=a+c+ac=(a+c)-ac≥(a+c)-?
4?2?
2
2
2
当a=c时取等号. ∴(a+c)2≤4,故a+c≤2.
又a+c>b=3,∴a+c∈(3,2].即a+c的取值范围是(3,2].
【类题通法】向量是一种解决问题的工具,是一个载体,通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题.
【对点训练】 已知向量a=(m,cos 2x),b=(sin 2x,n),函数f(x)=a·b,且y=f(x)的图象过点?π??2π?
?,3?和点??. ,-2?12??3?
高考数学(理)热点题型:三角函数与解三角形
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