高考数学(理)热点题型：三角函数与解三角形
热点一 三角函数的图象和性质
注意对基本三角函数y＝sin x,y＝cos x的图象与性质的理解与记忆,有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解,通常先将给出的函数转化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式,然后利用整体代换的方法求解. x
【例1】已知函数f(x)＝sin x－23sin2.
2(1)求f(x)的最小正周期；
2π??
(2)求f(x)在区间?0，?上的最小值.
3??(1)解 因为f(x)＝sin x＋3cos x－3. ?π?
＝2sin?x＋?－3.
3??
所以f(x)的最小正周期为2π. 2π
(2)解 因为0≤x≤3, ππ
所以3≤x＋3≤π.
π2π
当x＋3＝π,即x＝3时,f(x)取得最小值.
2π???2π?
所以f(x)在区间?0，?上的最小值为f??＝－3.
3???3?【类题通法】求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B周期与最值的模板
第一步：三角函数式的化简,一般化成y＝Asin(ωx＋φ)＋h或y＝Acos(ωx＋φ)＋h的形式； 2π
第二步：由T＝求最小正周期；
|ω|第三步：确定f(x)的单调性；
第四步：确定各单调区间端点处的函数值； 第五步：明确规范地表达结论.
3
【对点训练】 设函数f(x)＝2－3sin2ωx－sin ωxcos ωx(ω＞0),且y＝f(x)的图象的π
一个对称中心到最近的对称轴的距离为4. (1)求ω的值；
3π??
(2)求f(x)在区间?π，?上的最大值和最小值.
2??3
解 (1)f(x)＝2－3sin2ωx－sin ωxcos ωx 1－cos 2ωx13
＝2－3·－2sin 2ωx
2π?31?
＝2cos 2ωx－2sin 2ωx＝－sin?2ωx－?.
3??
π
因为y＝f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为,故该函数的周期T＝
4π
4×4＝π.
2π
又ω＞0,所以＝π,因此ω＝1.
2ωπ??
(2)由(1)知f(x)＝－sin?2x－?.
3??
π
设t＝2x－3,则函数f(x)可转化为y＝－sin t. 3π5ππ8π
当π≤x≤2时,3≤t＝2x－3≤ 3,
?5π8π?
如图所示,作出函数y＝sin t在?，3? 上的图象,
?3?
??5π8π?3???由图象可知,当t∈?时,sin t∈，3－，1?,
?3??2?
π?33???故－1≤－sin t≤2,因此－1≤f(x)＝－sin2x－≤2. 3??3π?3?
故f(x)在区间?π，?上的最大值和最小值分别为2,－1.
2??热点二 解三角形
高考对解三角形的考查,以正弦定理、余弦定理的综合运用为主.其命题规律可以从以下两方面看：(1)从内容上看,主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式,一般是以三角形或其他平面图形为背景,结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看,主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理,在知识的交汇处命题.
cos Acos Bsin C
【例2】在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a＋b＝c. (1)证明：sin Asin B＝sin C； 6
(2)若b2＋c2－a2＝5bc,求tan B. (1)证明 在△ABC中,根据正弦定理, abc
可设sin A＝sin B＝sin C＝k(k>0). 则a＝ksin A,b＝ksin B,c＝ksin C. 代入
cos Acos Bsin C
＋＝中, abc
cos Acos Bsin C
有ksin A＋ksin B＝ksin C,变形可得
sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B). 在△ABC中,由A＋B＋C＝π, 有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C, 所以sin Asin B＝sin C.
6
(2)解 由已知,b2＋c2－a2＝5bc,根据余弦定理,有
b2＋c2－a23
cos A＝2bc＝5. 4所以sin A＝1－cos2A＝5.
由(1)知,sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B, 443
所以5sin B＝5cos B＋5sin B, sin B
故tan B＝cos B＝4.
【类题通法】(1)①在等式中既有边长又有角的正余弦时,往往先联想正弦定理；②出现含有边长的平方及两边之积的等式,往往想到应用余弦定理. (2)正余弦定理与两角和(差)角公式的活用是求解该类问题的关键.
【对点训练】 四边形ABCD的内角A与C互补,且AB＝1,BC＝3,CD＝DA＝2. (1)求角C的大小和线段BD的长度； (2)求四边形ABCD的面积. 解 (1)设BD＝x,
1＋4－x2
在△ABD中,由余弦定理,得cos A＝,
2×2×19＋4－x2
在△BCD中,由余弦定理,得cos C＝, 2×2×3∵A＋C＝π,∴cos A＋cos C＝0. 1
联立上式,解得x＝7,cos C＝2. π
由于C∈(0,π).∴C＝3,BD＝7. π3
(2)∵A＋C＝π,C＝3,∴sin A＝sin C＝2. 又四边形ABCD的面积SABCD＝S△ABD＋S△BCD 113
＝2AB·ADsin A＋2CB·CDsin C＝2×(1＋3)＝23, ∴四边形ABCD的面积为23.
热点三 三角函数与平面向量结合
三角函数、解三角形与平面向量的结合主要体现在以下两个方面：(1)以三角函数式作为向量的坐标,由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式；(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形,然后利用正、余弦定理解决问题. 【例3】已知△ABC的三内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,向量m＝(cos B,cos C),n＝(2a＋c,b),且m⊥n. (1)求角B的大小； (2)若b＝3,求a＋c的范围.
解 (1)∵m＝(cos B,cos C),n＝(2a＋c,b),且m⊥n, ∴(2a＋c)cos B＋bcos C＝0,
∴cos B(2sin A＋sin C)＋sin Bcos C＝0, ∴2cos Bsin A＋cos Bsin C＋sin Bcos C＝0. 即2cos Bsin A＝－sin(B＋C)＝－sin A. 1∵A∈(0,π),∴sin A≠0,∴cos B＝－2. 2π
∵0＜B＜π,∴B＝3. (2)由余弦定理得
2?a＋c?232222
?＝(a＋c)2,当且仅b＝a＋c－2accos3π＝a＋c＋ac＝(a＋c)－ac≥(a＋c)－?
4?2?
2
2
2
当a＝c时取等号. ∴(a＋c)2≤4,故a＋c≤2.
又a＋c>b＝3,∴a＋c∈(3,2].即a＋c的取值范围是(3,2].
【类题通法】向量是一种解决问题的工具,是一个载体,通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题.
【对点训练】 已知向量a＝(m,cos 2x),b＝(sin 2x,n),函数f(x)＝a·b,且y＝f(x)的图象过点?π??2π?
?，3?和点??. ，－2?12??3?
高考数学(理)热点题型：三角函数与解三角形
