(完整版)线性代数超强的总结(不看你会后悔的)

由天下分享时间：2024/9/10 2:53:32 加入收藏我要投稿点赞

向量组等价 ?1,?2,???,?n和?1,?2,???,?n可以相互线性表示. 记作：??1,?2,???,?n??%??1,?2,???,?n? 矩阵等价 A经过有限次初等变换化为B. 记作：A?%B

? 矩阵A与B等价?r(A)?r(B)??A,B作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价. 矩阵A与B作为向量组等价?r(?1,?2,???,?n)?r(?1,?2,???,?n)?r(?1,?2,????n,?1,?2,???,?n)? 矩阵A与B等价.

? 向量组?1,?2,???,?s可由向量组?1,?2,???,?n线性表示?r(?1,?2,????n,?1,?2,???,?s)?r(?1,?2,???,?n)?r(?1,?2,???,?s)≤r(?1,?2,???,?n). ? 向量组?1,?2,???,?s可由向量组?1,?2,???,?n线性表示,且s?n，则?1,?2,???,?s线性相关. 向量组?1,?2,???,?s线性无关,且可由?1,?2,???,?n线性表示,则s≤n.

? 向量组?1,?2,???,?s可由向量组?1,?2,???,?n线性表示,且r(?1,?2,???,?s)?r(?1,?2,???,?n),则两向量组等价； ? 任一向量组和它的极大无关组等价.

? 向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等. ? 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.

? 若A是m?n矩阵,则r(A)?min?m,n?,若r(A)?m，A的行向量线性无关；若r(A)?n，A的列向量线性无关,即：

?1,?2,???,?n线性无关.

线性方程组的矩阵式 Ax?? 向量式 x1?1?x2?2?L?xn?n??

?a11a12L?aa22LA??21?MM??am1am2L

a1n???1j??x1??b1?????x??b?a2n??,x??2?,???2? ???2j?,j?1,2,L,n j?M??M??M?M????????amn?xb??n??m???mj?? 7

??当A为方阵时?Ax??有无穷多解Ax??有非零解??????A?0?????n???1,?2,L,?n线性相关 ???当A为方阵时??Ax??有唯一组解Ax??只有零解??????A?0??可由?1,?2,L,?n线性表示?Ax??有解?r(A)?r(AM?)??????n ???1,?2,L,?n线性无关 ??当A为方阵时???????克莱姆法则 ???) ??r(A)?r(AM??不可由?1,?2,L,?n线性表示?Ax??无解??r(A)?r(AM?) ??r(A)?1?r(AM?)?

矩阵转置的性质： (AT)T?A 矩阵可逆的性质： (A?1)?1?A 伴随矩阵的性质： (A?)??A?n 若r(A)?n ?r(A?)??1 若r(A)?n?1 ?0 若r(A)?n?1 ?

n?2(AB)T?BTAT (kA)T?kAT AT?A A?1?A A??An?1?1(A?B)T?AT?BT (A?1)T?(AT)?1 (A?1)k?(Ak)?1?A?k AA(AB)?1?B?1A?1 (kA)?1?k?1A?1 A (AB)??B?A? (kA)??kn?1A? (A?1)??(A?)?1?(AT)??(A?)T (A?)k?(Ak)? AA??A?A?AE AB?AB kA?knA Ak?A k8

?(1) ?1,?2是Ax?0的解,?1??2也是它的解???(2) ?是Ax?0的解,对任意k,k?也是它的解??齐次方程组?(3) ?,?,L,?是Ax?0的解,对任意k个常数?12k???? ?1,?2,L,?k,??11??2?2??k?k也是它的解????线性方程组解的性质：?(4) ?是Ax??的解,?是其导出组Ax?0的解,???是Ax??的解

?(5) ?,?是Ax??的两个解,???是其导出组Ax?0的解1212??(6) ?2是Ax??的解,则?1也是它的解??1??2是其导出组Ax?0的解??(7) ?1,?2,L,?k是Ax??的解,则? ????????也是Ax??的解???????11122kk12k??11??2?2??k?k是Ax?0的解??1??2??k?0? ???),从而Ax??一定有解. √ 设A为m?n矩阵,若r(A)?m,则r(A)?r(AM 当m?n时,一定不是唯一解.?方程个数未知数的个数?,则该向量组线性相关.

向量维数向量个数?)的上限. m是r(A)和r(AM√ 矩阵的秩的性质：

① r(A)?r(AT)?r(ATA) ② r(A?B)≤r(A)?r(B) ③ r(AB)≤min?r(A),r(B)?

?r(A) 若k?0 ④ r(kA)??

?0 若k?0?A?? ⑤ r???r(A)?r(B) ?B??⑥若A?0,则r(A)≥1

⑦ 若Am?n,Bn?s,且r(AB)?0,则r(A)?r(B)≤n ⑧ 若P,Q可逆,则r(PA)?r(AQ)?r(A) ⑨ 若A可逆,则r(AB)?r(B)

若B可逆,则r(AB)?r(A)

⑩ 若r(A)?n,则r(AB)?r(B),且A在矩阵乘法中有左消去律:

标准正交基 n个n维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.

AB?0?B?? AB?AC?B?C

?与?正交 (?,?)?0.

?是单位向量 ??(?,?)?1.

√ 内积的性质： ① 正定性：(?,?)?0,且(?,?)?0???? ② 对称性：(?,?)?(?,?)