向量组等价 ?1,?2,???,?n和?1,?2,???,?n可以相互线性表示. 记作：??1,?2,???,?n??%??1,?2,???,?n? 矩阵等价 A经过有限次初等变换化为B. 记作：A?%B
? 矩阵A与B等价?r(A)?r(B)??A,B作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价. 矩阵A与B作为向量组等价?r(?1,?2,???,?n)?r(?1,?2,???,?n)?r(?1,?2,????n,?1,?2,???,?n)? 矩阵A与B等价.
? 向量组?1,?2,???,?s可由向量组?1,?2,???,?n线性表示?r(?1,?2,????n,?1,?2,???,?s)?r(?1,?2,???,?n)?r(?1,?2,???,?s)≤r(?1,?2,???,?n). ? 向量组?1,?2,???,?s可由向量组?1,?2,???,?n线性表示,且s?n，则?1,?2,???,?s线性相关. 向量组?1,?2,???,?s线性无关,且可由?1,?2,???,?n线性表示,则s≤n.
? 向量组?1,?2,???,?s可由向量组?1,?2,???,?n线性表示,且r(?1,?2,???,?s)?r(?1,?2,???,?n),则两向量组等价； ? 任一向量组和它的极大无关组等价.
? 向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等. ? 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.
? 若A是m?n矩阵,则r(A)?min?m,n?,若r(A)?m，A的行向量线性无关； 若r(A)?n，A的列向量线性无关,即：
?1,?2,???,?n线性无关.
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线性方程组的矩阵式 Ax?? 向量式 x1?1?x2?2?L?xn?n??
?a11a12L?aa22LA??21?MM??am1am2L
a1n???1j??x1??b1?????x??b?a2n??,x??2?,???2? ???2j?,j?1,2,L,n j?M??M??M?M????????amn?xb??n??m???mj?? 7
??当A为方阵时?Ax??有无穷多解Ax??有非零解??????A?0?????n???1,?2,L,?n线性相关 ???当A为方阵时??Ax??有唯一组解Ax??只有零解??????A?0??可由?1,?2,L,?n线性表示?Ax??有解?r(A)?r(AM?)??????n ???1,?2,L,?n线性无关 ??当A为方阵时???????克莱姆法则 ???) ??r(A)?r(AM??不可由?1,?2,L,?n线性表示?Ax??无解??r(A)?r(AM?) ??r(A)?1?r(AM?)?
矩阵转置的性质： (AT)T?A 矩阵可逆的性质： (A?1)?1?A 伴随矩阵的性质： (A?)??A?n 若r(A)?n ?r(A?)??1 若r(A)?n?1 ?0 若r(A)?n?1 ?
n?2(AB)T?BTAT (kA)T?kAT AT?A A?1?A A??An?1?1(A?B)T?AT?BT (A?1)T?(AT)?1 (A?1)k?(Ak)?1?A?k AA(AB)?1?B?1A?1 (kA)?1?k?1A?1 A (AB)??B?A? (kA)??kn?1A? (A?1)??(A?)?1?(AT)??(A?)T (A?)k?(Ak)? AA??A?A?AE AB?AB kA?knA Ak?A k8
?(1) ?1,?2是Ax?0的解,?1??2也是它的解???(2) ?是Ax?0的解,对任意k,k?也是它的解??齐次方程组?(3) ?,?,L,?是Ax?0的解,对任意k个常数?12k???? ?1,?2,L,?k,??11??2?2??k?k也是它的解????线性方程组解的性质：?(4) ?是Ax??的解,?是其导出组Ax?0的解,???是Ax??的解
?(5) ?,?是Ax??的两个解,???是其导出组Ax?0的解1212??(6) ?2是Ax??的解,则?1也是它的解??1??2是其导出组Ax?0的解??(7) ?1,?2,L,?k是Ax??的解,则? ????????也是Ax??的解???????11122kk12k??11??2?2??k?k是Ax?0的解??1??2??k?0? ???),从而Ax??一定有解. √ 设A为m?n矩阵,若r(A)?m,则r(A)?r(AM 当m?n时,一定不是唯一解.?方程个数未知数的个数?,则该向量组线性相关.
向量维数向量个数?)的上限. m是r(A)和r(AM√ 矩阵的秩的性质：
① r(A)?r(AT)?r(ATA) ② r(A?B)≤r(A)?r(B) ③ r(AB)≤min?r(A),r(B)?
?r(A) 若k?0 ④ r(kA)??
?0 若k?0?A?? ⑤ r???r(A)?r(B) ?B??⑥若A?0,则r(A)≥1
⑦ 若Am?n,Bn?s,且r(AB)?0,则r(A)?r(B)≤n ⑧ 若P,Q可逆,则r(PA)?r(AQ)?r(A) ⑨ 若A可逆,则r(AB)?r(B)
若B可逆,则r(AB)?r(A)
⑩ 若r(A)?n,则r(AB)?r(B),且A在矩阵乘法中有左消去律:
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标准正交基 n个n维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.
AB?0?B?? AB?AC?B?C
?与?正交 (?,?)?0.
?是单位向量 ??(?,?)?1.
√ 内积的性质： ① 正定性：(?,?)?0,且(?,?)?0???? ② 对称性：(?,?)?(?,?)
③ 双线性：(?,?1??2)?(?,?1)?(?,?2) (?1??2,?)?(?1,?)?(?2,?) (c?,?)?(c?,?)?(?,c?)
施密特 ?1,?2,?3线性无关,
??1??1???(?,?) 正交化??2??2?21?1
(??)11??(?3,?1)(?3,?2)???????2?331(?1?1)(?2?2)? 单位化：?1?正交矩阵 AAT?E.
??1? ?2?2 ?3?3 ?1?2?3√ A是正交矩阵的充要条件：A的n个行（列）向量构成?n的一组标准正交基. √ 正交矩阵的性质：① AT?A?1；
② AAT?ATA?E；
③ A是正交阵,则AT（或A?1）也是正交阵； ④ 两个正交阵之积仍是正交阵； ⑤ 正交阵的行列式等于1或-1.
A的特征矩阵 ?E?A.
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(完整版)线性代数超强的总结(不看你会后悔的)
