线性代数超强总结
?A不可逆 ?A可逆 ??r(A)?n r(A)?n ????Ax?0只有零解 A????Ax??有非零解 ??0是A的特征值 ?A的特征值全不为零 ????A的列（行）向量线性相关 A????A的列（行）向量线性无关
?ATA是正定矩阵 ??A与同阶单位阵等价 ??A?p1p2???ps,pi是初等阵 n?????R,Ax??总有唯一解向量组等价??具有相似矩阵?????反身性、对称性、传递性 矩阵合同??√ 关于e1,e2,???,en：
①称为?n的标准基，?n中的自然基，单位坐标向量； ②e1,e2,???,en线性无关； ③e1,e2,???,en?1； ④tr(E)=n；
⑤任意一个n维向量都可以用e1,e2,???,en线性表示.
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√ 行列式的计算：
A??A??A??AB ① 若A与B都是方阵（不必同阶）,则
?B?B?B?A
?(?1)mnB?AB ②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.
?a1n?a1n ③关于副对角线：
a2n?1n?1n?1)2N?a2N?(?1)n(a1na2nKan1an1?an1?√ 逆矩阵的求法:
①A?1?A?A
②(AME)????初等行变换?(EMA?1) ?ab??11?d?AB?T③????b??ATCT?ad?bc??ca? ?cd?????CD?????BTDT? ????1?1a??a1??1a?11??1????④?a2a2??a2????O????O? ??????a????n???1??an??N??an???1a1 2
1an?N??1a?2???
??1?A1??A?1?1?A?11?A?1n?⑤?A2A?1??2A???2?????????N?O????O? ??N??A?12? ?A??n???A?1????n?A???n????A?11??√ 方阵的幂的性质：AmAn?Am?n (Am)n?(A)mn
√ 设f(x)?amxm?am?1xm?1?L?a1x?a0，对n阶矩阵A规定：f(A)?amAm?am?1Am?1?L?a1A?a0E为A的一个多项式. √
设
Am?n,Bn?s,A的列向量为
?1,?2,???,?n,B的列向量为
?1,?2,???,?s，AB则：ri?A?i,i?1,2,L,s,即 A(?1,?2,???,?s)?(A?1,A?2,L,A?s)?用A,B中简r,L,r 若??(bT? 1,b2,L,bn),则 A??b1?1?b2?2?Lbn?n?单的一个提1,r2s,即：AB的第i个列向量r? i是A的列向量的线性组合,组合系数就是?i的各分量；高运算速度? AB的第i个行向量ri是B的行向量的线性组合,组合系数就是?i的各分量.?? √ 用对角矩阵?左乘一个矩阵,相当于用?的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量； 用对角矩阵?右乘一个矩阵,相当于用?的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,
??A11????与分块对角阵相乘类似,即：A??A??B1122B?22??O???,B??O?? ??A???kk???B?kk? 3
列量为
的向?A11B11?AB??????A22B22O??? ??AkkBkk??√ 矩阵方程的解法：设法化成(I)AX?B 或 (II)XA?B 当A?0时,
（当B为一列时,初等行变换 (I)的解法：构造(AM B)?????(EMX) 即为克莱姆法则）(II)的解法：将等式两边转置化为ATXT?BT，
T 用(I)的方法求出X，再转置得X√ Ax??和Bx??同解（A,B列向量个数相同）,则：
① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性； ③ 它们有相同的内在线性关系.
√ 判断?1,?2,L,?s是Ax?0的基础解系的条件： ① ?1,?2,L,?s线性无关； ② ?1,?2,L,?s是Ax?0的解；
③ s?n?r(A)?每个解向量中自由变量的个数.
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① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关. ③ 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关.
④ 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. ⑤ 两个向量线性相关?对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关. ⑥ 向量组?1,?2,???,?n中任一向量?i(1≤i≤n)都是此向量组的线性组合.
⑦ 向量组?1,?2,???,?n线性相关?向量组中至少有一个向量可由其余n?1个向量线性表示. 向量组?1,?2,???,?n线性无关?向量组中每一个向量?i都不能由其余n?1个向量线性表示. ⑧ m维列向量组?1,?2,???,?n线性相关?r(A)?n； m维列向量组?1,?2,???,?n线性无关?r(A)?n. ⑨ r(A)?0?A??.
⑩ 若?1,?2,???,?n线性无关，而?1,?2,???,?n,?线性相关,则?可由?1,?2,???,?n线性表示,且表示法惟一. ? 矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩. 阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.
? 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系. 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.
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(完整版)线性代数超强的总结(不看你会后悔的)
