专题五 解析几何 第1讲 直线与圆
年份 卷别 卷Ⅱ 卷Ⅲ 卷Ⅰ 考查内容及考题位置 圆的方程、直线与圆的位置关系·T19(2) 直线与圆的位置关系·T6 圆的性质、点到直线的距离、双曲线的几何性质·T15 圆的弦长问题、双曲线的几何性质·T9 直线与圆的位置关系、点到直线卷Ⅲ 的距离、椭圆的离心率·T10 直线与圆的方程、直线与抛物线的位置关系·T20 卷Ⅱ 2016 卷Ⅲ 圆的方程、点到直线的距离应用·T4 直线与圆的位置关系·T16
直线的方程(基础型)
两条直线平行与垂直的判定
若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．
2个距离公式
(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝
[考法全练]
1．若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝( ) A．1±2或0
2－5
B.或0
2|Ax0＋By0＋C|
. A2＋B2|C1－C2|. A2＋B21.近两年圆的方程成为高考全国课标卷命题的热点，需重点关注．此类试题难度中等偏下，多以选择题或填空题形式考查． 2．直线与圆的方程偶尔单独命题，单独命题时有一定的深度，有时也会出现在压轴题的位置，难度较大，对直线与圆的方程(特别是直线)的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上. 命题分析 2024 卷Ⅱ 2017
2±5C. 2
2
2＋5D.或0
2
3
a2＋a
解析：选A.因为平面内三点A(1，－a)，B(2，a)，C(3，a)共线，所以kAB＝kAC，即
2－1a3＋a＝，即a(a2－2a－1)＝0，解得a＝0或a＝1±2.故选A. 3－1
2．若直线mx＋2y＋m＝0与直线3mx＋(m－1)y＋7＝0平行，则m的值为( ) A．7 C．0
B．0或7 D．4
解析：选B.因为直线mx＋2y＋m＝0与直线3mx＋(m－1)y＋7＝0平行，所以m(m－1)＝3m×2，所以m＝0或7，经检验，都符合题意．故选B.
3．两条平行线l1，l2分别过点P(－1，2)，Q(2，－3)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间距离的取值范围是( )
A．(5，＋∞) C．(34，＋∞)
B．(0，5] D．(0，34] 解析：选D.当直线PQ与平行线l1，l2垂直时，|PQ|为平行线l1，l2间的距离的最大值，为（－1－2）2＋[2－（－3）]2＝34，所以l1，l2之间距离的取值范围是(0，34]．故选D.
6
m－?x＋1(m≠0)与线段AB相交，则实数4．已知点A(1，2)，B(2，11)，若直线y＝?m??m的取值范围是( )
A．[－2，0)∪[3，＋∞) C．[－2，－1]∪[3，6]
B．(－∞，－1]∪(0，6] D．[－2，0)∪(0，6]
6
m－?x＋1(m≠0)的两解析：选C.由题意得，两点A(1，2)，B(2，11)分布在直线y＝?m??66
m－－2＋1??2?m－?－11＋1?≤0，解得－2≤m≤－1或侧(或其中一点在直线上)，所以?mm??????3≤m≤6，故选C.
5．(一题多解)已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0.若直线l2与l1关于直线l对称，则直线l2的方程是________．
解析：法一：l1与l2关于l对称，则l1上任意一点关于l的对称点都在l2上，故l与l1
的交点(1，0)在l2上．
又易知(0，－2)为l1上的一点，设其关于l的对称点为(x，y)，则 xy－2
－－1＝0，?2?2?x＝－1，
?，解得 ?y＋2?y＝－1.?
×1＝－1?x
即(1，0)，(－1，－1)为l2上两点，故可得l2的方程为x－2y－1＝0.
法二：设l2上任一点为(x，y)，其关于l的对称点为(x1，y1)，则由对称性可知 x＋xy＋y??2－2－1＝0，
?y－y
??x－x×1＝－1，
1111
??x1＝y＋1，解得?
?y1＝x－1.?
因为(x1，y1)在l1上，
所以2(y＋1)－(x－1)－2＝0，即l2的方程为x－2y－1＝0. 答案：x－2y－1＝0
圆的方程(综合型)
圆的3种方程
(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．
(3)圆的直径式方程：(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0(圆的直径的两端点是A(x1，y1)，B(x2，y2))．
[典型例题]
在平面直角坐标系xOy中，曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)与x轴交于不同的两
点A，B，曲线Γ与y轴交于点C.
(1)是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．
(2)求证：过A，B，C三点的圆过定点．
【解】 由曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)，令y＝0，得x2－mx＋2m＝0. 设A(x1，0)，B(x2，0)，则可得Δ＝m2－8m>0，x1＋x2＝m，x1x2＝2m. 令x＝0，得y＝2m，即C(0，2m)．
→→
(1)若存在以AB为直径的圆过点C，则AC·BC＝0，得x1x2＋4m2＝0， 1
即2m＋4m2＝0，所以m＝0或m＝－.
21
由Δ>0得m<0或m>8，所以m＝－，
2
117－，0?即圆心，半径r＝|CM|＝此时C(0，－1)，AB的中点M?， ?4?4117
x＋?＋y2＝. 故所求圆的方程为??4?16
2
(2)证明：设过A，B两点的圆的方程为x2＋y2－mx＋Ey＋2m＝0， 将点C(0，2m)代入可得E＝－1－2m，
所以过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2－mx－(1＋2m)y＋2m＝0， 整理得x2＋y2－y－m(x＋2y－2)＝0. 2x＝，??5?x＋y－y＝0，?x＝0，
令?可得?或
4?x＋2y－2＝0，?y＝1??
y＝，5
2
2
???
24?故过A，B，C三点的圆过定点(0，1)和??5，5?.
求圆的方程的两种方法
(1)直接法：利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，数形结合直接求出圆心坐标、半径，进而求出圆的方程．
(2)待定系数法：先设出圆的方程，再由条件构建系数满足的方程(组)求得各系数，进而求出圆的方程．
[对点训练]
1．圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为 ( ) A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y－2)2＝1 C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－1)2＋(y＋2)2＝1
解析：选A.由题意知圆心的坐标为(1，2)．易知(1，2)关于直线y＝x对称的点为(2，1)，所以圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1，故选A.
2．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，0)，B(0，3)，C(2，3)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( )
5A. 325C. 3
B.21 3
4D. 3
解析：选B.设外接圆圆心为P.因为△ABC外接圆的圆心在线段BC的垂直平分线上，23
即直线x＝1上，可设圆心P(1，p)，由PA＝PB得|p|＝1＋（p－3）2，解得p＝，所323?以圆心坐标为P?1，，所以圆心到原点的距离|OP|＝3??选B.
3．经过原点且与直线x＋y－2＝0相切于点(2，0)的圆的标准方程是( )
23?1＋?＝?3?2
12211＋＝.故
93
A．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 B．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 C．(x－1)2＋(y＋1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y－1)2＝4
b
解析：选A.设圆心的坐标为(a，b)，则a2＋b2＝r2①，(a－2)2＋b2＝r2②，＝1③，
a－2联立①②③解得a＝1，b＝－1，r2＝2.故所求圆的标准方程是(x－1)2＋(y＋1)2＝2.故选A.
直线与圆、圆与圆的位置关系(综合型)
直线与圆的位置关系的判定
(1)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：d＜r?相交；d＝r?相切；d＞r?相离．
(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ＞0?相交；Δ＝0?相切；Δ＜0?相离．
圆与圆的位置关系的判定 (1)d＞r1＋r2?两圆外离． (2)d＝r1＋r2?两圆外切． (3)|r1－r2|＜d＜r1＋r2?两圆相交． (4)d＝|r1－r2|(r1≠r2)?两圆内切． (5)0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2)?两圆内含．
[典型例题]
命题角度一 圆的切线问题
(2024·永州模拟)自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，
切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为( )
A．8x－6y－21＝0 C．6x＋8y－21＝0
B．8x＋6y－21＝0 D．6x－8y－21＝0
【解析】 由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，如图．
2024届高考数学二轮复习第二部分专项二专题五1第1讲直线与圆学案
