函数
?映射定义：设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个元素x，? 在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：?B为从集合A到集合B的一个映射?传统定义：如果在某变化中有两个变量x,y,并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，??定义 按照某个对应关系f,y都有唯一确定的值和它对应。那么y就是x的函数。记作y?f(x).?近代定义：函数是从一个数集到另一个数集的映射。??定义域???函数及其表示函数的三要素值域????对应法则???解析法???函数的表示方法?列表法???图象法???传统定义：在区间?a,b?上，若a?x1?x2?b,如f(x1)?f(x2)，则f(x)在?a,b?上递增,?a,b?是 ???? 递增区间；如f(x1)?f(x2)，则f(x)在?a,b?上递减,?a,b?是的递减区间。?单调性??导数定义：在区间?a,b?上，若f(x)?0，则f(x)在?a,b?上递增,?a,b?是递增区间；如f(x)?0???a,b?是的递减区间。 ??? 则f(x)在?a,b?上递减,?????最大值：设函数y?f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x?I，都有f(x)?M；?函数?函数的基本性质??最值?? （2）存在x0?I，使得f(x0)?M。则称M是函数y?f(x)的最大值最小值：设函数y?f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：（1）对于任意的x?I，都有f(x)?N；???? （2）存在x0?I，使得f(x0)?N。则称N是函数y?f(x)的最小值??(1)f(?x)??f(x),x?定义域D，则f(x)叫做奇函数，其图象关于原点对称。???奇偶性?(2)f(?x)?f(x),x?定义域D，则f(x)叫做偶函数，其图象关于y轴对称。???? 奇偶函数的定义域关于原点对称?周期性：在函数f(x)的定义域上恒有f(x?T)?f(x)(T?0的常数)则f(x)叫做周期函数，T为周期；??? T的最小正值叫做f(x)的最小正周期，简称周期??（?1）描点连线法：列表、描点、连线???向左平移?个单位：y1?y,x1?a?x?y?f(x?a)????向右平移a个单位：y?y,x?a?x?y?f(x?a)11??平移变换?向上平移b个单位：x?x,y11?b?y?y?b?f(x)???????向下平移b个单位：x1?x,y1?b?y?y?b?f(x)???横坐标变换：把各点的横坐标x1缩短（当w?1时）或伸长（当0?w?1时）???? 到原来的1/w倍（纵坐标不变），即x?wx?y?f(wx)1??伸缩变换?纵坐标变换：把各点的纵坐标y伸长（A?1)或缩短（0?A?1)到原来的A倍1????函数图象的画法???? （横坐标不变）， 即y1?y/A?y?f(x)?（?x?x1?2x0x1?2x0?x?2）变换法?关于点(x,y)对称：??2y0?y?f(2x0?x)?00????y?y1?2y0?y1?2y0?y????关于直线x?x0对称：x?x1?2x0?x1?2x0?x?y?f(2x0?x)?????y?y1y1?y?对称变换???x?x1x?x???关于直线y?y0对称：??1?2y0?y?f(x)????y?y?2yy1?2y0?y10????x?x1?1???y?f(x)???关于直线y?x对称：y?y1?????????? 一、函数的定义域的常用求法：
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1、分式的分母不等于零；2、偶次方根的被开方数大于等于零；3、对数的真数大于零；4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；5、三角函数正切函数y?tanx中
x?k???2(k?Z)；余切函数y?cotx中；6、如果函数是由实际意义确定的解析式，应
依据自变量的实际意义确定其取值范围。 二、函数的解析式的常用求法：
1、定义法；2、换元法；3、待定系数法；4、函数方程法；5、参数法；6、配方法 三、函数的值域的常用求法：
1、换元法；2、配方法；3、判别式法；4、几何法；5、不等式法；6、单调性法；7、直接法
四、函数的最值的常用求法：
1、配方法；2、换元法；3、不等式法；4、几何法；5、单调性法 五、函数单调性的常用结论：
1、若f(x),g(x)均为某区间上的增（减）函数，则f(x)?g(x)在这个区间上也为增（减）函数
2、若f(x)为增（减）函数，则?f(x)为减（增）函数
3、若f(x)与g(x)的单调性相同，则y?f[g(x)]是增函数；若f(x)与g(x)的单调性不同，则y?f[g(x)]是减函数。
4、奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。
5、常用函数的单调性解答：比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。
六、函数奇偶性的常用结论：
1、如果一个奇函数在x?0处有定义，则f(0)?0，如果一个函数y?f(x)既是奇函数又是偶函数，则f(x)?0（反之不成立）
2、两个奇（偶）函数之和（差）为奇（偶）函数；之积（商）为偶函数。 3、一个奇函数与一个偶函数的积（商）为奇函数。
4、两个函数y?f(u)和u?g(x)复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。 5、若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)可以表示为
f(x)?12[f(x)?f(?x)]?12[f(x)?f(?x)]，该式的特点是：右端为一个奇函数和
一个偶函数的和。
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mn???根式：a,n为根指数，a为被开方数??nmn?a?a???????分数指数幂?????aras?ar?s(a?0,r,s?Q)??指数的运算?????rsrs指数函数?性质?(a)?a(a?0,r,s?Q)????rrs??(ab)?ab(a?0,b?0,r?Q)???????定义：一般地把函数y?ax(a?0且a?1)叫做指数函数。??指数函数????性质：见表1????对数：x?logaN,a为底数，N为真数?????loga(M?N)?logaM?logaN;???基本初等函数????M??log?logaM?logaN;??a?.N??对数的运算?性质??n??logaM?nlogaM;(a?0,a?1,M?0,N?0)??对数函数?????logcb?logab?(a,c?0且a,c?1,b?0)??换底公式：??loga?c??????对数函数?定义：一般地把函数y?logax(a?0且a?1)叫做对数函数?????性质：见表1???????幂函数定义：一般地，函数y?x叫做幂函数，x是自变量，?是常数。???性质：见表2?
表1
指数函数y?ax?a?0,a?1? - 3 -
对数数函数y?logax?a?0,a?1? 定义域 值域 x?R x??0,??? y??0,??? y?R 图象 过定点(0,1)?? 减函数 x?(??,0)时，y?(1,??)x?(0,??)时，y?(0,1) 过定点(1,0) 增函数 x?(??,0)时，y?(0,1)x?(0,??)时，y?(1,??)减函数 x?(0,1)时，y?(0,??)x?(1,??)时，y?(??,0)增函数 x?(0,1)时，y?(??,0)x?(1,??)时，y?(0,??) 性质 a?b a?b a?b a?b 表2 pq幂函数y?x?(??R) ?? ??0 0???1 ??1 ??1 p为奇数q为奇数 奇函数 p为奇数q为偶数 p为偶数q为奇数 增函数 偶函数 第一象限性质 减函数 （0，1） 过定点
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高一数学必修1函数知识点总结
