第1课时 等比数列的前n项和公式
[课时作业] [A组 基础巩固]
1．等比数列{an}中，an＝2，则它的前n项和Sn＝( ) A．2－1 C．2
n＋1nnB．2－2 D．2
n＋1
n－1 －2
解析：a1＝2，q＝2， ∴Sn＝答案：D
1
2．在等比数列{an}中，若a1＝1，a4＝，则该数列的前10项和S10＝( )
81
A．2－8
2C．2－
110 2
1
B．2－9
2D．2－
111 2
10
－21－2
n＝2
n＋1
－2.
111a1－q3
解析：设等比数列{an}的公比为q，由a1＝1，a4＝，得q＝，解得q＝，于是S10＝8821－q1
1－
2
＝
11－2答案：B
10
1＝2－9.
2
3．等比数列{an}中，已知前4项之和为1，前8项和为17，则此等比数列的公比q为( ) A．2 C．2或－2 解析：S4＝
B．－2 D．2或－1
－q1－q8
4
a1
＝1，①
S8＝
a1
－q1－q4
＝17，②
4
②÷①得1＋q＝17，q＝16.
q＝±2.
答案：C
4．已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为5
，则S5＝( ) 4A．35
B．33
1
C．31
解析：设数列{an}的公比为q， ∵a2·a3＝a1·q＝a1·a4＝2a1， ∴a4＝2.
533
又∵a4＋2a7＝a4＋2a4q＝2＋4q＝2×，
41∴q＝.
2
2
3
D．29
a4a1
∴a1＝3＝16.S5＝
q答案：C
－q1－q5
＝31.
5．等比数列{an}中，a3＝3S2＋2，a4＝3S3＋2，则公比q等于( ) A．2 C．4
1B. 21D. 4
解析：a3＝3S2＋2，a4＝3S3＋2，等式两边分别相减得a4－a3＝3a3，即a4＝4a3，∴q＝4. 答案：C
6．若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an，n＝1,2,3，…，则a1＋a2＋…＋an＝________.
an＋1
解析：由＝2，∴{an}是以a1＝1，q＝2的等比数列，故Sn＝
an答案：2－1
n－21－2
n＝2－1.
n7．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{an}的公比为________． 解析：∵S1,2S2,3S3成等差数列，∴4S2＝S1＋3S3， 即4(a1＋a1q)＝a1＋3(a1＋a1q＋a1q)， 12
∴4(1＋q)＝1＋3(1＋q＋q)，解之得q＝.
31答案：
3
8．等比数列的前n项和Sn＝m·3＋2，则m＝________. 解析：设等比数列为{an}，则
n2
a1＝S1＝3m＋2，
S2＝a1＋a2＝9m＋2?a2＝6m， S3＝a1＋a2＋a3＝27m＋2?a3＝18m，
又a2＝a1·a3?(6m)＝(3m＋2)·18m ?m＝－2或m＝0(舍去)．∴m＝－2.
2
2
2
答案：－2
9．在等差数列{an}中，a4＝10，且a3，a6，a10成等比数列，求数列{an}前20项的和S20. 解析：设数列{an}的公差为d，则
a3＝a4－d＝10－d，a6＝a4＋2d＝10＋2d，a10＝a4＋6d＝10＋6d，
由a3，a6，a10成等比数列，得a3a10＝a6， 即(10－d)(10＋6d)＝(10＋2d).
整理，得10d－10d＝0.解得d＝0或d＝1. 当d＝0时，S20＝20a4＝200；
当d＝1时，a1＝a4－3d＝10－3×1＝7， 20×19
于是S20＝20a1＋d＝20×7＋190＝330.
2
10．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－n，an＝log5bn，其中bn>0，求数列{bn}的前n项和Tn. 解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝(2n－n)－[2(n－1)－(n－1)] ＝－2n＋3，
当n＝1时，a1＝S1＝2×1－1＝1也适合上式， ∴{an}的通项公式an＝－2n＋3(n∈N)． 又an＝log5bn， ∴log5bn＝－2n＋3， 于是bn＝5
－2n＋3
*
2
2
2
2
2
2
2
，bn＋1＝5
－2n＋1
，
bn＋15－2n＋1－21∴＝＝5＝. bn5－2n＋325
1－2＋3因此{bn}是公比为的等比数列，且b1＝5＝5，
25于是{bn}的前n项和
??1?n?5?1－???
??25??125??1?n?Tn＝＝?1－???.
124??25??1－25
[B组 能力提升]
1．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2－1，则a1＋a2＋…＋an等于( ) A．(2n－1) C．4－1
解析：根据前n项和Sn＝2－1，可求出an＝2
nn2
n222
1nB.(2－1) 31nD.(4－1) 3
n－1
，由等比数列的性质可得{an}仍为等比数列，
2
3
且首项为a1，公比为q，∴a1＋a2＋…＋an＝1＋2＋2＋…＋2答案：D
22222242n－2
1n＝(4－1)． 3
2．设Sn是等比数列{an}的前n项和，若＝3，则＝( ) A．2 3C. 10
7B. 3D．1或2
S4S2S6S4
解析：设S2＝k，则S4＝3k，由数列{an}为等比数列(易知数列{an}的公比q≠－1)，得S2，
S67k7
S4－S2，S6－S4为等比数列，又S2＝k，S4－S2＝2k，∴S6－S4＝4k，∴S6＝7k，∴＝＝，S43k3
故选B. 答案：B
3．已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于________．
??a1＋a4＝9解析：由题意，?
?a2·a3＝a1·a4＝8?
，解得a1＝1，a4＝8或者a1＝8，a4＝1，而数列{an}
是递增的等比数列，所以a1＝1，a4＝8，即q＝＝8，所以q＝2，因而数列{an}的前n项和Sn＝
3
a4
a1
a1
n－q1－qn1－2n＝＝2－1. 1－2
n答案：2－1
4．设数列{an}(n＝1,2,3，…)的前n项和Sn满足Sn＋a1＝2an，且a1，a2＋1，a3成等差数列，则a1＋a5＝________.
解析：由Sn＋a1＝2an，得an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)．从而a2＝2a1，
a3＝2a2＝4a1.又因为a1，a2＋1，a3成等差数列，所以a1＋a3＝2(a2＋1)，所以a1＋4a1＝2(2a1
＋1)，解得a1＝2，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，故an＝2，所以a1＋a5＝2＋2＝34. 答案：34
5．(2016·高考全国Ⅲ卷)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0. (1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式； 31
(2)若S5＝，求λ.
32
解析：(1)证明：由题意得a1＝S1＝1＋λa1， 1
故λ≠1，a1＝，a1≠0.
1－λ
5
n 4
由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan.由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以
an＋1λ
＝. anλ－1
1λ1
因此{an}是首项为，公比为的等比数列，于是an＝
1－λλ－11－λ(2)由(1)得Sn＝1－?
?λ?n－1.
?λ－1???
?λ?n.
??λ－1?
31?λ?5＝31， 由S5＝得1－??32?λ－1?32即?
?λ?5＝1. ??λ－1?32
解得λ＝－1.
6．设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3＝7，且a1＋3,3a2，
a3＋4构成等差数列．
(1)求数列{an}的通项；
(2)令bn＝ln a3n＋1，n＝1,2，…，求数列{bn}的前n项和Tn.
a1＋a2＋a3＝7，??
解析：(1)由已知得?a1＋＋a3＋
?2?
＝3a2，
解得a2＝2.
2
设数列{an}的公比为q，由a2＝2，可得a1＝，
qa3＝2q，
22
又S3＝7，可知＋2＋2q＝7，即2q－5q＋2＝0.
q1
解得q1＝2，q2＝.
2
由题意得q>1，∴q＝2，∴a1＝1. 故数列{an}的通项为an＝2
n－1
.
(2)由于bn＝ln a3n＋1，n＝1,2，…， 由(1)得a3n＋1＝2，∴bn＝ln 2＝3nln 2. 又bn＋1－bn＝3ln 2，∴{bn}是等差数列， ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝
3nn＋1
故Tn＝ln 2.2
3n3nnb1＋bn2
＝
3nn＋
2
·ln 2.
5
6
2019年高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和第1课时等比数列的前n项和公式优化练习
