学习好资料 欢迎下载 故CM=2OM=2AM； ∵OA=2，则OM=2，CM=4，C（2，4）， ∴A（﹣2，0），C（2，4）． （2）将点C坐标代入直线AC的解析式中，有： 2m+2m=4，m=1， ∴直线AC：y=x+2； 将A、C的坐标代入抛物线的解析式中，有： ， 解得； 2∴抛物线：y=x+x﹣2； 2故直线AC和抛物线的解析式分别为：y=x+2，y=x+x﹣2． （3）存在满足条件的点D，其坐标为（﹣3，4）或（5，28）； 理由：假设存在符合条件的点D，则有： ①CD∥AB，由于AB≠CD，此时四边形ABCD是梯形； 易知抛物线的对称性为：x=﹣； 由于此时CD∥x轴， 故C、D关于直线x=﹣对称， 已知C（2，4）， 故D（﹣3，4）； ②AD∥BC，显然BC≠AD，此时四边形ABCD是梯形； 易知B（1，0），用待定系数法可求得： 直线BC：y=4x﹣4； 由于AD∥BC，可设直线AD的解析式为y=4x+h， 则有：4×（﹣2）+h=0， 即h=8； ∴直线AD：y=4x+8； 联立抛物线的解析式可得： ， 解得（舍去），， 故D（5，28）； 综上所述，存在符合条件的D点，且坐标为：D（﹣3，4）或（5，28）． 点评： 此题考查了函数图象与坐标轴交点的求法、解直角三角形、函数解析式的确定以及梯形的判定条件等知识学习好资料 欢迎下载 点；要注意的是，在判定某个四边形为梯形时，一定要满足两个条件：①一组对边平行，②另一组对边不平行（或平行的对边不相等），两个条件缺一不可． 12．（2012?赤峰）如图，抛物线y=x﹣bx﹣5与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点
C与点F关于抛物线的对称轴对称，直线AF交y轴于点E，|OC|：|OA|=5：1． （1）求抛物线的解析式； （2）求直线AF的解析式；
（3）在直线AF上是否存在点P，使△CFP是直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
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考点： 二次函数综合题。 专题： 代数几何综合题。 分析： （1）根据抛物线解析式求出OC的长度，再根据比例求出OA的长度，从而得到点A的坐标，然后把点A的坐标代入抛物线解析式计算求出b，即可得到抛物线解析式； （2）根据点C、F关于对称轴对称可得点F的纵坐标与点C的纵坐标相等，设出点F的坐标为（x0，﹣5），代入抛物线求出点F的横坐标，然后利用待定系数法求直线函数解析式求解即可； （3）分①点P与点E重合时，△CFP是直角三角形，②CF是斜边时，过C作CP⊥AF于点P，然后根据点C、E、F的坐标求出PC=PF，从而求出点P在抛物线对称轴上，再根据抛物线的对称轴求解即可． 解答： 解：（1）∵y=x﹣bx﹣5， ∴|OC|=5， ∵|OC|：|OA|=5：1， ∴|OA|=1， 即A（﹣1，0），…（2分） 把A（﹣1，0）代入y=x﹣bx﹣5得 2（﹣1）+b﹣5=0， 解得b=4， 抛物线的解析式为y=x﹣4x﹣5；…（4分） （2）∵点C与点F关于对称轴对称，C（0，﹣5），设F（x0，﹣5）， 2∴x0﹣4x0﹣5=﹣5， 解得x0=0（舍去），或x0=4， ∴F（4，﹣5），…（6分） ∴对称轴为x=2， 设直线AF的解析式为y=kx+b， 把F（4，﹣5），A（﹣1，0），代入y=kx+b， 得， 222学习好资料 欢迎下载 解得， 所以，直线FA的解析式为y=﹣x﹣1；…（8分） （3）存在．…（9分） 理由如下：①当∠FCP=90°时，点P与点E重合， ∵点E是直线y=﹣x﹣1与y轴的交点， ∴E（0，﹣1）， ∴P（0，﹣1），…（10分） ②当CF是斜边时，过点C作CP⊥AF于点P（x1，﹣x1﹣1）， ∵∠ECF=90°，E（0，﹣1），C（0，﹣5），F（4，﹣5）， ∴CE=CF， ∴EP=PF， ∴CP=PF， ∴点P在抛物线的对称轴上，…（11分） ∴x1=2， 把x1=2代入y=﹣x﹣1，得 y=﹣3， ∴P（2，﹣3）， 综上所述，直线AF上存在点P（0，﹣1）或（2，﹣3）使△CFP是直角三角形．…（12分） 点评： 本题是对二次函数的综合考查，主要利用了二次函数与坐标轴的交点的求解，待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，以及到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上的性质，（3）中要注意分CF是直角边与斜边两种情况讨论求解． 16．如图，已知抛物线C1：y=a（x+2）﹣5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B的横坐标是1； （1）求a的值；
（2）如图，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，抛物线C3的顶点为M，当点P、M关于点O成中心对称时，求抛物线C3的解析式．
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学习好资料 欢迎下载 考点： 二次函数综合题。 专题： 综合题。 分析： （1）将B点坐标代入抛物线C1的解析式中，即可求得待定系数a的值． （2）在抛物线平移过程中，抛物线的开口大小没有发现变化，变化的只是抛物线的位置和开口方向，所以C3的二次项系数与C1的互为相反数，而C3的顶点M与C1的顶点P关于原点对称，P点坐标易求得，即可得到M点坐标，从而求出抛物线C3的解析式． 解答： 解：（1）∵点B是抛物线与x轴的交点，横坐标是1， ∴点B的坐标为（1，0）， ∴当x=1时，0=a（1+2）﹣5， ∴ （2）设抛物线C3解析式为y=a′（x﹣h）+k， ∵抛物线C2与C1关于x轴对称，且C3为C2向右平移得到， ∴， 22． ∵点P、M关于点O对称，且点P的坐标为（﹣2，﹣5）， ∴点M的坐标为（2，5）， ∴抛物线C3的解析式为y=﹣（x﹣2）+5=﹣x+22x+． 点评： 此题主要考查的是二次函数解析式的确定、二次函数图象的几何变化以及系数与函数图象的关系，需要熟练掌握． 17．如图，已知△ABC内接于半径为4的☉0，过0作BC的垂线，垂足为F，且交☉0于P、Q两点．OD、OE的
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长分别是抛物线y=x+2mx+m﹣9与x轴的两个交点的横坐标． （1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在直线l，使它经过抛物线与x轴的交点，并且原点到直线l的距离是2？如果存在，请求出直线l的解析式；如果不存在，请说明理由．
考点： 二次函数综合题。 专题： 代数几何综合题。 分析： （1）连接BO，根据垂径定理与圆周角定理可得∠BAC=∠BOQ，再根据等角的补角相等可得∠BOD=EAD，然后证明△BOD和△EAD相似，根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得到OD、OE的关系，再根据相交弦定理列式整理出AD、BD的关系，从而得到OD?OE的值，令y=0，根据抛物线与x轴的交点问题用m表示出OD?OE，从而得到关于m的方程，求解得到m的值，再根据OD、OE都是正数，且是抛物线与x轴的交点的横坐标可得抛物线对称轴在y轴的右边求出m的取值范围，从而得到m的值，代入抛物线计算即可得解； （2）根据抛物线解析式求出与x轴的两个交点坐标分别为（2，0）（8，0），①当直线l经过左边交点时，直线l平行于y轴，原点到直线l的距离是2；②当直线l经过右边交点时，是交点为L，过点O作OM⊥l与点M，过点M作MN⊥x轴于点N，则OM=2，根据相似三角形对应边成比例列式求出ON的长度，再利用勾股定理求出MN的长度，然后分点M在x轴上方与下方两种情况，利用待定系数法求直线解析式求学习好资料 欢迎下载 出直线l的解析式． 解答： 解：（1）如图，连接BO，∵OQ⊥BC与F， ∴=， ∴∠BAC=∠BOQ， ∵∠BOD=180°﹣∠BOQ，∠EAD=180°﹣∠BAC， ∴∠BOD=EAD， 又∵∠BDO=∠EDA（对顶角相等）， ∴△BOD∽△EAD， ∴=， ∴AD?BD=OD?DE， 根据相交弦定理AD?BD=DQ?DP， ∴OD?DE=DQ?DP， ∵圆的半径为4， ∴OD（OE﹣OD）=（4+OD）（4﹣OD）， 整理得，OD?OE=16， 22令y=0，则x+2mx+m﹣9=0， ∵OD、OE是抛物线与x轴的交点的横坐标， 2∴OD?OE=m﹣9， 2∴m﹣9=16， 解得m=±5， ∵线段OD、OE的长度都是正数， ∴﹣=﹣=﹣m＞0， 解得m＜0， ∴m=﹣5， ∴抛物线解析式为y=x﹣10x+16； （2）存在． 2理由如下：令y=0，则x﹣10x+16=0， 解得x1=2，x2=8， 所以，抛物线与x轴的交点坐标为（2，0），（8，0）， ①当直线l经过点（2，0）时，直线l平行于y轴时，原点到直线l的距离为2， 所以，直线l的解析式为x=2； ②当直线l经过点（8，0）时，如图，设点L（8，0）， 过点O作OM⊥l与点M，过点M作MN⊥x轴于点N，则OM=2， ∵∠OML=∠MNO=90°，∠MON=∠LOM， ∴△OMN∽△OLM， ∴即==， ， 2解得ON=， 在Rt△OMN中，MN=设直线l的解析式为y=kx+b， ==，
初中数学二次函数难题
