学习好资料 欢迎下载
一．选择题（共2小题） 1．如图，已知动点P在函数y=
（x＞0）的图象上运动，PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，线段PM、PN分
别与直线AB：y=﹣x+1交于点E，F，则AF?BE的值为（ ）
4 A．2 B． 1 C． D． 考点： 反比例函数综合题。 专题： 动点型。 分析： 由于P的坐标为（a，），且PN⊥OB，PM⊥OA，那么N的坐标和M点的坐标都可以a表示，那么BN、NF、BN的长度也可以用a表示，接着F点、E点的也可以a表示，然后利用勾股定理可以分别用a表示AF，BE，最后即可求出AF?BE． 解答： 解：∵P的坐标为（a，∴N的坐标为（0，∴BN=1﹣， ），且PN⊥OB，PM⊥OA， ），M点的坐标为（a，0）， 在直角三角形BNF中，∠NBF=45°（OB=OA=1，三角形OAB是等腰直角三角形）， ∴NF=BN=1﹣， ，）， ∴F点的坐标为（1﹣同理可得出E点的坐标为（a，1﹣a）， ∴AF=（﹣∴AF?BE=222）+（22）=2，BE=（a）+（﹣a）=2a， 2222?2a=1，即AF?BE=1． 故选C． 点评： 本题的关键是通过反比例函数上的点P来确定E、F两点的坐标，进而通过坐标系中两点的距离公式得出所求的值． 2．如图，抛物线y=x﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点（点A在点B的左侧），动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．若使点P运动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为（ ）
2
学习好资料 欢迎下载
A． 考点： 二次函数综合题。 分析： 首先根据题意求得点A与B的坐标，求得抛物线的对称轴，然后作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点A′，作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，则直线A′B′与x=的交点是E，与x轴的交点是F，而且易得A′B′即是所求的长度． 解答： 解：如图 ∵抛物线y=x﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点， ∴x﹣x﹣=x﹣2， 解得：x=1或x=， 当x=1时，y=x﹣2=﹣1， 当x=时，y=x﹣2=﹣， ∴点A的坐标为（，﹣），点B的坐标为（1，﹣1）， 22 B． C． D． ∵抛物线对称轴方程为：x=﹣= 作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点A′，作点B关于x轴的对称点B′， 连接A′B′， 则直线A′B′与x=的交点是E，与x轴的交点是F， ∴BF=B′F，AE=A′E， ∴点P运动的最短总路径是AE+EF+FB=A′E+EF+FB′=A′B′， 延长BB′，AA′相交于C， ∴A′C=++（1﹣）=1，B′C=1+=， ∴A′B′==． ． ∴点P运动的总路径的长为学习好资料 欢迎下载 故选A． 点评： 此题考查了二次函数与一次函数的综合应用．注意找到点P运动的最短路径是解此题的关键，还要注意数形结合与方程思想的应用． 二．解答题（共28小题） 6．（2004?长沙）如图，等腰梯形ABCD，AD∥BC，AD=3cm，BC=7cm，∠B=60°，P为下底BC上一点（不与B、C重合），连接AP，过P作∠APE=∠B，交DC于E． （1）求证：△ABP∽△PCE； （2）求等腰梯形的腰AB的长；
（3）在底边BC上是否存在一点P，使得DE：EC=5：3？如果存在，求BP的长；如果不存在，请说明理由．
考点： 等腰梯形的性质；解分式方程；三角形的外角性质；相似三角形的判定与性质。 专题： 几何综合题。 分析： （1）欲证△ABP∽△PCE，需找出两组对应角相等；由等腰梯形的性质可得出∠B=∠C，根据三角形外角的性质可证得∠EPC=∠BAP；由此得证； （2）可过作AF⊥BC于F，由等腰梯形的性质得到AF是BC、AD差的一半，在Rt△ABF中，根据∠B的度数及BF的长即可求得AB的值； （3）在（2）中求得了AB的长，即可求出DE：EC=5：3时，DE、CE的值．设BP的长为x，进而可表示出PC的长，然后根据（1）的相似三角形，可得出关于AB、BP、PC、CE的比例关系式，由此可得出关于x的分式方程，若方程有解，则x的值即为BP的长．若方程无解，则说明不存在符合条件的P点． 解答： （1）证明：由∠APC为△ABP的外角得∠APC=∠B+∠BAP； ∵∠B=∠APE ∴∠EPC=∠BAP ∵∠B=∠C ∴△ABP∽△PCE； （2）解：过A作AF⊥BC于F； ∵等腰梯形ABCD中，AD=3cm，BC=7cm， ∴BF=， Rt△ABF中，∠B=60°，BF=2； ∴AB=4cm； （3）解：存在这样的点P． 学习好资料 欢迎下载 理由是：∵解之得EC=cm． 设BP=x，则PC=7﹣x 由△ABP∽△PCE可得 =， ∵AB=4，PC=7﹣x， ∴= 解之得x1=1，x2=6， 经检验都符合题意， 即BP=1cm或BP=6cm． 点评： 此题主要考查了等腰梯形的性质，以及相似三角形的判定和性质． 7．如图所示，已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，点P是AD上的一个动点（与A、D不重合），过点P作PE⊥CP交直线AB于点E，设PD=x，AE=y，
（1）写出y与x的函数解析式，并指出自变量的取值范围； （2）如果△PCD的面积是△AEP面积的4倍，求CE的长；
（3）是否存在点P，使△APE沿PE翻折后，点A落在BC上？证明你的结论．
考点： 二次函数的应用；勾股定理；翻折变换（折叠问题）。 分析： （1）运用三角形相似，对应边比值相等即可解决， （2）运用三角形面积的关系得出，对应边的关系，即可解决， 解答： （1）解：∵PE⊥CP， ∴可得：△EAP∽△PDC， ∴， 又∵CD=2，AD=3，设PD=x， AE=y， ∴∴y=﹣0＜x＜3； ， ， 学习好资料 欢迎下载 （2）解：当△PCD的面积是△AEP面积的4倍， 则：相似比为2：1， ∴， ∵CD=2， ∴AP=1，PD=2， ∴PE=，PC=2， ∴EC=． 点评： 此题主要考查了相似三角形的判定，以及相似三角形面积比是相似比的平方． 9．如图，在直角坐标系xoy中，抛物线y=x+bx+c与x轴交于A、B两点（其中A在原点左侧，B在原点右侧），C为抛物线上一点，且直线AC的解析式为y=mx+2m（m≠0），∠CAB=45°，tan∠COB=2． （1）求A、C的坐标；
（2）求直线AC和抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否存在点D，使得四边形ABCD为梯形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
2
考点： 二次函数综合题。 专题： 综合题。 分析： （1）已知了直线AC的解析式，可确定点A的坐标；过C作CM⊥x轴于M，在Rt△CAM中，AM=CM，而CM=2OB，由此可得AO=BO，根据A点坐标即可确定点C的坐标． （2）将C点坐标代入直线AC的解析式中，可求得m的值，进而确定直线AC的解析式；同理，将A、C的坐标代入抛物线的解析式中，通过联立方程组求得抛物线的解析式． （3）此题应分作两种情况考虑： ①AB∥CD，此时CD与x轴平行，D、C两点关于抛物线的对称轴对称，因此D点坐标不难求得； ②AD∥BC，首先根据抛物线的解析式求得点B坐标，进而可用待定系数法求得直线BC的解析式，由于直线AD与BC平行，因此它们的斜率相同，根据A点坐标即可确定直线AD的解析式，然后联立抛物线的解析式，即可求得交点D的坐标． （由于此题已告知四边形ABCD字母的书写顺序，因此无需考虑BD∥AC等情况．） 解答： 解：（1）直线AC：y=mx+2m（m≠0）中， 当y=0时，mx+2m=0，m（x+2）=0， ∵m≠0， ∴x=﹣2； 故A（﹣2，0）； 过C作CM⊥x轴于M； Rt△CAM中，∠CAB=45°，则CM=AM； Rt△COM中，tan∠COM=2，则CM=2OM，
初中数学二次函数难题
