2019-2020年高考数学二轮复习第五部分短平快增分练专题二规范练
5.2.1大题规范练一
解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1．(本小题满分12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2sin 2Ccos C－sin 3C＝3(1－cos C)．
(1)求角C；
(2)若c＝2，且sin C＋sin(B－A)＝2sin 2A，求△ABC的面积． 解：(1)由2sin 2Ccos C－sin 3C＝3(1－cos C)， 得sin 2Ccos C－cos 2Csin C＝3－3cos C， 化简得sin C＝3－3cos C，
3?π?即sin C＋3cos C＝3，所以sin?C＋?＝， 3?2?又C为△ABC的内角， π2ππ
所以C＋＝，故C＝.
333
(2)由已知可得，sin(A＋B)＋sin(B－A)＝2sin 2A， 可得sin Bcos A＝2sin Acos A. 所以cos A＝0或sin B＝2sin A.
π211223
当cos A＝0时，A＝，则b＝，S△ABC＝·b·c＝××2＝.
222333当sin B＝2sin A时，由正弦定理得b＝2a.
a2＋b2－c2a2＋4a2－4142
由cos C＝＝＝，得a＝，
2ab2·a·2a23
1133223
所以S△ABC＝·b·a·sin C＝·2a·a·＝a＝. 2222323
综上可知，S△ABC＝.
3
2．(本小题满分12分)为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效改良玉米品种，为农民提供技术支援．现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如图(单位：厘米)，设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米.
抗倒伏 7 7 3 9 7 3 3 1 9 6 4 0 14 15 16 1 7 易倒伏 5 5 4 8 8 0 9 5 5 2 6 6 3 17 18 19 20 5 8
1 2 6 6 7
0 0 3 4 5 8 9 9 2 2 3
(1)列出2×2列联表，并判断是否可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？
(2)(ⅰ)按照分层抽样的方法，在上述样本中，从易倒伏和抗倒伏两组中抽取9株玉米，设取出的易倒伏矮茎玉米株数为X，求X的分布列(概率用组合数算式表示)；
(ⅱ)若将频率视为概率，从抗倒伏的玉米试验田中再随机抽取50株，求取出的高茎玉米株数的数学期望和方差．
附：
P(K2≥k0) k0 (K＝
2
0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 a＋bnad－bc2c＋da＋cb＋d，其中n＝a＋b＋c＋d)
解：(1)根据统计数据得2×2列联表如下：
矮茎 高茎 合计 由于K＝
2
抗倒伏 15 10 25 2易倒伏 4 16 20 合计 19 26 45 －19×26×25×20
≈7.287＞6.635，因此可以在犯错误的概率不超过1%的前
提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关．
(2)(ⅰ)按照分层抽样的方法抽到的易倒伏玉米共4株，则X的可能取值为0,1,2,3,4. C16C4·C16C4·C16C4·C16C4
P(X＝0)＝4，P(X＝1)＝4，P(X＝2)＝4，P(X＝3)＝4，P(X＝4)＝4，
C20C20C20C20C20所以X的分布列为
4
1
3
2
2
3
1
4
X P 0 C164 C20411 C4·C16 4C20322 C4·C16 4C20233 C4·C16 4C2014 C44 C20422
(ⅱ)在抗倒伏的玉米样本中，高茎玉米有10株，占，即每次取出高茎玉米的概率均为，
552?2?设取出高茎玉米的株数为ξ，则ξ～B?50，?，即E(ξ)＝np＝50×＝20，D(ξ)＝np(1－p)＝
5?5?23
50××＝12.
55
π
3．(本小题满分12分)如图(1)所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝1，
2
AD＝2，E为AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，如图(2)所示．
(1)证明：CD⊥平面A1OC；
(2)若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD所成锐二面角的余弦值．
π
解：(1)证明：在直角梯形ABCD中，因为AB＝BC＝1，AD＝2，E是AD的中点，∠BAD＝，
2所以BE⊥AC，BE∥CD，故BE⊥OA1，BE⊥OC，
从而BE⊥平面A1OC. 又因为CD∥BE， 所以CD⊥平面A1OC.
(2)如图，以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
则B?
2?2???
，0，0?，E?－，0，0?， ?2??2?
2??2?
?，C?0，，0?， 2??2?
A1?0，0，
?
?
→?22?→?22?→→
得BC＝?－，，0?，A1C＝?0，，－?，CD＝BE＝(－2，0,0)．
222??2??
设平面A1BC的法向量n1＝(x1，y1，z1)，平面A1CD的法向量n2＝(x2，y2，z2)，平面A1BC与平面A1CD所成的锐二面角为θ，
?n·→BC＝0
则?→?n·AC＝0
11
1
2
?n·→CD＝0由?→?n·AC＝0，
2
1
??－x1＋y1＝0，得?
?y1－z1＝0?
，取x1＝1得n1＝(1,1,1)；
得?
??x2＝0
??y2－z2＝0
，
取y2＝1得n2＝(0,1,1)，
|n1·n2|26
从而cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝＝，
|n1||n2|3×23即平面A1BC与平面A1CD所成锐二面角的余弦值为6
. 3
4．(本小题满分12分)已知中心在原点，左焦点为F1(－1,0)的椭圆C的左顶点为A，上顶点为B，F1到直线AB的距离为
(1)求椭圆C的方程；
7
|OB|. 7
x2y2x2y2
(2)若椭圆C1：2＋2＝1(m＞n＞0)，椭圆C2＝2＋2＝λ(λ＞0且λ≠1)，则称椭圆C2是椭
mnmn圆C1的λ倍相似椭圆．已知C2是椭圆C的3倍相似椭圆，若椭圆C的任意一条切线l交椭圆C2于M，N两点，求弦长|MN|的取值范围．
x2y2
解：(1)设椭圆C的方程为2＋2＝1(a＞b＞0)，则A(－a，0)，B(0，b)，∴直线AB的方程
ab为
y－abx＋＝1，整理得－bx＋ay－ab＝0，
|b－ab|7
∴F1(－1,0)到直线AB的距离d＝22＝b，
7a＋b整理得a＋b＝7(a－1)， 又b＝a－c，故a＝2，b＝3， 故椭圆C的方程为＋＝1.
43
(2)由(1)知，椭圆C的3倍相似椭圆C2的方程为＋＝1，
129①若切线l垂直于x轴，则其方程为x＝±2，易求得|MN|＝26. ②若切线l不垂直于x轴，可设其方程为y＝kx＋d， 将y＝kx＋d代入椭圆C的方程中， 整理得(3＋4k)x＋8kdx＋4d－12＝0， ∵直线l与椭圆C相切，
∴Δ＝(8kd)－4(3＋4k)(4d－12)＝48(4k＋3－d)＝0，即d＝4k＋3.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
x2y2
x2y2
记M，N两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 将y＝kx＋d代入椭圆C2的方程，得 (3＋4k)x＋8kdx＋4d－36＝0， 8kd4d－36
x1＋x2＝－，xx＝1222，
3＋4k3＋4k∴|x1－x2|＝463＋4k2
2
2
2
2
x1＋x2
2
－4x1x2＝
4
k2＋9－d2
2
3＋4k把d＝4k＋3代入得|x1－x2|＝
22
，
1＋k2＝ 3＋4k2
∴|MN|＝1＋k·|x1－x2|＝46 26
1＋1
2. 3＋4k2
142
∵3＋4k≥3，∴1＜1＋2≤，
3＋4k3即26＜26 11＋2≤42. 3＋4k综上，弦长|MN|的取值范围为[26，42]．
5．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝a(x－1)－ln x. (1)若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的值；
(2)若f(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，求a的取值范围． 解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
2
f′(x)＝2ax－，
x1
∵f(x)在x＝2处取得极小值，∴f′(2)＝0，a＝. 81
经验证，x＝2是f(x)的极小值点，故a＝.
81
(2)f′(x)＝2ax－，
1
x①当a≤0时，f′(x)＜0，∴f(x)在[1，＋∞)上单调递减， ∴当x＞1时，f(x)＜f(1)＝0，这与f(x)≥0矛盾． ②当a＞0时，令f′(x)＞0，得x＞1
12a；令f′(x)＜0，得0＜x＜
1. 2a1?1，1?(ⅰ)若＞1，即0＜a＜，当x∈??时，f′(x)＜0，
22a??2a
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