2021年新高考数学分类专练
等比数列及其前n项和 A级——夯基保分练
1．(2019·开封市定位考试)等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋4S2＝0，则公比q＝( )
A．－1 C．－2
B．1 D．2
解析：选C 因为a3＋4S2＝0，所以a1q2＋4a1＋4a1q＝0，因为a1≠0，所以q2＋4q＋4＝0，所以q＝－2，故选C.
2．若等比数列{an}的各项均为正数，a1＋2a2＝3，a23＝4a2a6，则a4＝( ) 3A. 83C. 16
24B. 59D. 16
??a1＋2a1q＝3，
解析：选C 由题意，得?
??a1q2?2＝4a1q·a1q5，?
?a＝2，
解得?1
q＝?2，1
3
31?33所以a4＝a1q3＝×?＝.
2?2?16
3．在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n等于( ) A．12 C．14
B.13 D．15
解析：选C 因为数列{an}是各项均为正数的等比数列，所以a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9，a10a11a12，…也成等比数列．不妨令b1＝a1a2a3，b2＝a4a5a6，
b212－则公比q＝＝＝3.所以bm＝4×3m1.
b14令bm＝324，即4×3m1＝324，
解得m＝5，所以b5＝324，即a13a14a15＝324. 所以n＝14.
4．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝( ) A．2n1 2?n－1C.??3?
－
－
1
B.n－1 23?n－1D.??2?
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解析：选D 因为an＋1＝Sn＋1－Sn， Sn＋13
所以Sn＝2an＋1＝2(Sn＋1－Sn)，所以＝，
Sn2
3?n－13
所以数列{Sn}是以S1＝a1＝1为首项，为公比的等比数列，所以Sn＝??2?. 25．(多选)设等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6＝8a3，则( ) A．数列{an}的公比为2 S6
C.＝8 S3
B.数列{an}的公比为8 S6
D.＝9 S3
a6
解析：选AD 因为等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6＝8a3，所以＝q3＝8，
a3
S61－q6
解得q＝2，所以＝＝1＋q3＝9.
S31－q3
6．(多选)设等比数列{an}的公比为q，则下列结论正确的是( ) A．数列{anan＋1}是公比为q2的等比数列 B．数列{an＋an＋1}是公比为q的等比数列 C．数列{an－an＋1}是公比为q的等比数列
?1?1
D．数列?a?是公比为的等比数列
q?n?
解析：选AD 对于A，由
anan＋12
＝q(n≥2)知数列{anan＋1}是公比为q2的等比数列；对an－1an
于B，当q＝－1时，数列{an＋an＋1}的项中有0，不是等比数列；对于C，若q＝1时，数
1
an＋1an1?1?1
列{an－an＋1}的项中有0，不是等比数列；对于D，＝＝，所以数列?a?是公比为的
1q?n?an＋1qan等比数列，故选A、D.
7．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}的前7项和为________．
解析：设等比数列{an}的公比为q(q>0)， 由a5＝a1q4＝16，a1＝1，得16＝q4，解得q＝2， a1?1－q7?1×?1－27?
所以S7＝＝＝127.
1－q1－2答案：127
8．在等比数列{an}中，a1＋a3＋a5＝21，a2＋a4＋a6＝42，则S9＝________.
解析：设等比数列的公比为q，由等比数列的定义可得a2＋a4＋a6＝a1q＋a3q＋a5q＝q(a1
＋a3＋a5)＝q×21＝42，解得q＝2.又a1＋a3＋a5＝a1(1＋q2＋q4)＝a1×21＝21，解得a1＝1.
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a1?1－q9?1×?1－29?
所以S9＝＝＝511.
1－q1－2
答案：511
9．(一题两空)已知{an}是递减的等比数列，且a2＝2，a1＋a3＝5，则{an}的通项公式为________；a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1(n∈N*)＝________.
1?n－1
解析：由a2＝2，a1＋a3＝5，{an}是递减的等比数列，得a1＝4，a3＝1，an＝4×??2?，1
则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1是首项为8、公比为的等比数列的前n项和．故a1a2＋a2a3＋…
4
?1?n?8×?1－??4??32??1?n?1?n－11
＋anan＋1＝8＋2＋＋…＋8×?＝＝×?1－?4??. ?4?213
1－4
1?n－132??1?n?
答案：an＝4×??2? 3×?1－?4??
10．已知等比数列{an}为递减数列，且a25＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.
42解析：设公比为q，由a2q9，即a1＝q. 5＝a10，得(a1q)＝a1·
又由2(an＋an＋2)＝5an＋1，得2q2－5q＋2＝0， 11－解得q＝(q＝2舍去)，所以an＝a1·qn1＝n.
221
答案：n
2
11．设数列{an＋1}是一个各项均为正数的等比数列，已知a3＝7，a7＝127. (1)求a5的值；
(2)求数列{an}的前n项和．
解：(1)由题可知a3＋1＝8，a7＋1＝128， 则有(a5＋1)2＝(a3＋1)(a7＋1)＝8×128＝1 024， 可得a5＋1＝32，即a5＝31. (2)设数列{an＋1}的公比为q，
2???a3＋1＝?a1＋1?q，?a1＋1＝2，
由(1)知?得?
?a5＋1＝?a1＋1?q4，???q＝2，
所以数列{an＋1}是一个以2为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1＝2×2n1＝2n，所以an＝2n－1，
2?1－2n?＋
利用分组求和可得，数列{an}的前n项和Sn＝－n＝2n1－2－n.
1－2
15π
12．在①数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n；②函数f(x)＝sin πx－23cos2x＋3的正零
222
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2021年新高考数学分类专练：等比数列及其前n项和
